Semplice equazione per sostituzione

[Chiò1]

Buongiorno forum, buon anno a tutti intanto! Qualcuno sarebbe così gentile da darmi una mano a ricavarmi le soluzioni di una di queste due equazioni?
Dati:

$x_1=a_1((M_1+p_1Q_1)/p_1)$ , $x_2=a_2((M_1+p_1Q_1)/p_2)$ , $m_1=a_m((M_1 + p_1Q_1)$

$y_1=a_1((M_2+p_2Q_2)/p_1)$ , $y_2=a_2((M_2+p_2Q_2)/p_2)$ , $m_2=a_m((M_2 + p_2Q_2)$

sapendo che $x_1+y_1=Q_1$ e che $x_2+y_2=Q_2$

ricavare $p_1$ e $p_2$

Soluzioni: $p_1=(a_1/a_m)((M_1+M_2)/Q_1)$ e $p_2=(a_2/a_m)((M_1+M_2)/Q_2)$

ho provato per prima cosa a sostituire direttamente a x e y i valori di cui sopra, dopo qualche passaggio ricavo p, però è in troppe incognite e ben lontano dalla forma suggerita in soluzione. Qualcuno può darmi qualche dritta? Vorrei sapere quale sostituzione devo eseguire per ottenere p come in soluzione. Grazie a chiunque risponderà!

[G.D.5]

Ma di che argomento stiamo parlando?
Cosa dovrebbero rappresentare tutte queste variabili?
Da dove escono fuori \( m_{1}, m_{2}, a_{m} \)?

[Chiò1]

si tratta di un economia modellizzata con questo sistema di equazioni; il significato delle variabili e come ci si arriva lo so, il mio è proprio un problema di calcolo spicciolo, non riesco ad ottenere p1 e p2 nella forma riportata dal testo perchè non capisco come effettuare le sostituzioni

[G.D.5]

Io qualcosa di simile a quanto si deve ottenere riesco ad ottenerlo. Mi sono però fermato a \( p_{2} \), senza risalire anche a \( p_{1} \) proprio perché non capisco come fare uscire \( a_{m} \). Vedi se ti può essere utile.

Suppongo che il secondo \( y_{1} \) sia in realtà un \( y_{2} \).
Si tratta di risolvere il sistema:

\[
\begin{cases}
a_{1} \left ( \frac{ M_{1} + p_{1}Q_{1} }{ p_{1} } \right ) + a_{1} \left ( \frac{ M_{2} + p_{2}Q_{2} }{ p_{1} } \right ) = Q_{1} \\
a_{2} \left ( \frac{ M_{1} + p_{1}Q_{1} }{ p_{2} } \right ) + a_{2} \left ( \frac{ M_{2} + p_{2}Q_{2} }{ p_{2} } \right ) = Q_{2}
\end{cases}
\]

assumendo come incognite \( p_{1} \) e \( p_{2} \).

Per quanto riguarda la prima equazione:

\[
\begin{split}
a_{1} \left ( \frac{ M_{1} + p_{1}Q_{1} }{ p_{1} } \right ) + a_{1} \left ( \frac{ M_{2} + p_{2}Q_{2} }{ p_{1} } \right ) &= Q_{1} \\
\frac{ a_{1} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) }{ p_{1} } + \frac{ a_{1} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) }{ p_{1} } &= Q_{1} \\
\frac{ a_{1} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) }{ p_{1} } + \frac{ a_{1} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) }{ p_{1} } - Q_{1} &= 0 \\
\frac{ a_{1} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) + a_{1} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) - p_{1}Q_{1} }{ p_{1} } &= 0 \\
a_{1} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) + a_{1} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) - p_{1}Q_{1} &= 0 \\
a_{1}M_{1} + p_{1}a_{1}Q_{1} + a_{1}M_{2} + p_{2}a_{1}Q_{2} - p_{1}Q_{1} &= 0 \\
p_{1}a_{1}Q_{1} - p_{1}Q_{1} + p_{2}a_{1}Q_{2} + a_{1}M_{1} + a_{1}M_{2} &= 0 \\
( a_{1}Q_{1} - Q_{1} ) p_{1}+ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} &= 0
\end{split}
\]

Per quanto riguarda la seconda equazione:

\[
\begin{split}
a_{2} \left ( \frac{ M_{1} + p_{1}Q_{1} }{ p_{2} } \right ) + a_{2} \left ( \frac{ M_{2} + p_{2}Q_{2} }{ p_{2} } \right ) &= Q_{2} \\
\frac{ a_{2} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) }{ p_{2} } + \frac{ a_{2} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) }{ p_{2} } &= Q_{2} \\
\frac{ a_{2} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) }{ p_{2} } + \frac{ a_{2} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) }{ p_{2} } - Q_{2} &= 0 \\
\frac{ a_{2} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) + a_{2} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) - p_{2}Q_{2} }{ p_{2} } &= 0 \\
a_{2} ( M_{1} + p_{1}Q_{1} ) + a_{2} ( M_{2} + p_{2}Q_{2} ) - p_{2}Q_{2} &= 0 \\
a_{2}M_{1} + p_{1}a_{2}Q_{1} + a_{2}M_{2} + p_{2}a_{2}Q_{2} - p_{2}Q_{2} &= 0 \\
p_{1}a_{2}Q_{1} + p_{2}a_{2}Q_{2} - p_{2}Q_{2} + a_{2}M_{1} + a_{2}M_{2} &= 0 \\
a_{2}Q_{1}p_{1} + ( a_{2}Q_{2} - Q_{2} )p_{2} + ( M_{1} + M_{2} )a_{2} &= 0
\end{split}
\]

Quindi il sistema iniziale si riduce a:

\[
\begin{cases}
( a_{1}Q_{1} - Q_{1} ) p_{1}+ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} = 0 \\
a_{2}Q_{1}p_{1} + ( a_{2}Q_{2} - Q_{2} )p_{2} + ( M_{1} + M_{2} )a_{2} = 0
\end{cases}
\]

Ricavando dalla prima equazione \( p_{1} \):

\[
\begin{split}
( a_{1}Q_{1} - Q_{1} ) p_{1}+ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} = 0 \\
( a_{1}Q_{1} - Q_{1} ) p_{1} = - a_{1}Q_{2}p_{2} - ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} \\
p_{1} = \frac{ - a_{1}Q_{2}p_{2} - ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} }{ a_{1}Q_{1} - Q_{1} } \\
p_{1} = \frac{ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} }{ Q_{1} - a_{1}Q_{1} } \\
\end{split}
\]

Ricavando dalla seconda equazione \( p_{1} \):

\[
\begin{split}
a_{2}Q_{1}p_{1} + ( a_{2}Q_{2} - Q_{2} )p_{2} + ( M_{1} + M_{2} )a_{2} = 0 \\
a_{2}Q_{1}p_{1} = - ( a_{2}Q_{2} - Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
p_{1} = \frac{ - ( a_{2}Q_{2} - Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ a_{2}Q_{1} } \\
p_{1} = \frac{ ( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ a_{2}Q_{1} } \\
\end{split}
\]

Uguagliando per ricavare \( p_{2} \):

\[
\begin{split}
\frac{ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} }{ Q_{1} - a_{1}Q_{1} } = \frac{ ( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ a_{2}Q_{1} } \\
a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} = ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} ) \frac{ ( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ a_{2}Q_{1} } \\
a_{2}Q_{1} \left [ a_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1} \right ] = ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} ) \left [ ( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - ( M_{1} + M_{2} )a_{2} \right ] \\
a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2}p_{2} + ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} = ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2}p_{2} - ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} = - ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} - ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( Q_{2} - a_{2}Q_{2} )p_{2} - a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2}p_{2} = ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
\left [ ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( Q_{2} - a_{2}Q_{2} ) - a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2} \right ] p_{2} = ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
( Q_{1}Q_{2} - a_{2}Q_{1}Q_{2} - a_{1}Q_{1}Q_{2} + a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2} - a_{1}a_{2}Q_{1}Q_{2} ) p_{2} = ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
\left [ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{1}Q_{2} \right ] p_{2} = ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \\
p_{2} = \frac{ ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( Q_{1} - a_{1}Q_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{1}Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2}Q_{1} + ( 1 - a_{1} )( M_{1} + M_{2} )Q_{1}a_{2} }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{1}Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ Q_{1} \left [ ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2} + ( 1 - a_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} \right ] }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{1}Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ ( M_{1} + M_{2} ) a_{1}a_{2} + ( 1 - a_{1} )( M_{1} + M_{2} )a_{2} }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ \left [ a_{1}a_{2} + ( 1 - a_{1} )a_{2} \right ] ( M_{1} + M_{2} ) }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ ( a_{1}a_{2} + a_{2} - a_{1}a_{2} ) ( M_{1} + M_{2} ) }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{2} } \\
p_{2} = \frac{ a_{2}( M_{1} + M_{2} ) }{ ( 1 - a_{2} - a_{1} ) Q_{2} } \\
\end{split}
\]

[G.D.5]

Come vedi mi manca \( a_{m} \): al suo posto ho un \( 1 - a_{2} - a_{1} \).

[Chiò1]

Sei un grande! È correttissimo! Si tratta di una funzione economica particolare per cui risulta: am+a1+a2=1, quindi il tuo risultato è giustissimo, grazie infinite!

[G.D.5]

Prego.