Semigruppi e elementi invertibili
Salve a tutti, son ancora qua con un altro esercizio...
$X$ è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali, e $k$ è un numero reale. Si consideri l'operazione
$(a,b)**(c,d) = (ac+k(b-1)), ad+bc)$
e si dica per quali valori di $k$ l'insieme $X,star$ è un semigruppo con 1. Per almeno uno di questi valori si determino gli elementi invertibili.
semigruppo: insieme con una operazione associativa e con elemento neutro.
ora arriva il dubbio: devo trovare il valore di $k$ in modo tale che $(a,b)**(c,d)=(a,b)$? con (c,d) in questo caso intendo l'elemento neutro.
grazie in anticipo
@dissonance: grazie per il tag esatto
$X$ è l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali, e $k$ è un numero reale. Si consideri l'operazione
$(a,b)**(c,d) = (ac+k(b-1)), ad+bc)$
e si dica per quali valori di $k$ l'insieme $X,star$ è un semigruppo con 1. Per almeno uno di questi valori si determino gli elementi invertibili.
semigruppo: insieme con una operazione associativa e con elemento neutro.
ora arriva il dubbio: devo trovare il valore di $k$ in modo tale che $(a,b)**(c,d)=(a,b)$? con (c,d) in questo caso intendo l'elemento neutro.
grazie in anticipo
@dissonance: grazie per il tag esatto
Risposte
"BeNdErR":Puoi scrivere \$star\$ oppure \$**\$ per evitare questo inconveniente.
PS: ho messo il simbolo * non tra \$ \$ perchè senno me lo faceva diventare così -> $*$..
Essendo in un semigruppo l'elemento neutro destro coincide con l'elemento neutro sinistro, ciò significa che devi trovare il valore [tex]$k$[/tex] tale che [tex]$\exists(c;d)\in\mathbb{R}^2\mid\forall(a;b)\in\mathbb{R}^2,(a;b)\cdot(c;d)=(a;b)$[/tex] sicché [tex]$(c;d)$[/tex] sia l'elemento neutro a destra e, per quanto detto, sia anche l'elemento neutro a sinistra; e quest'affermazione è vera per quanto premesso.
se ad esempio prendo la coppia $(c,d)=(1,0)$, mi risulta $(a*1+k(b-1),a*0+b*1) = (a+k(b-1),b)$ quindi devo fare in modo che $a+k(b-1) = a$, da cui segue che $k=(a(1-c))/(b-1)$.
Con questo valore di $k$ ho che per qualsiasi coppia $(a,b)$, con $(c,d)$ fissato a $(1,0)$, ho $(a,b)star(1,0) = (a,b)$.
Fino qui ho fatto giusto? per quanto riguarda la verifica del $(c,d)star(a,b)=(a,b)$, nella formula (a,b)⋆(c,d)=(ac+k(b-1)),ad+bc) devo sostituire le variabili $c$ con le $a$, e le $d$ con le $b$? o rimane invariata? (propendo più per la seconda)
Con questo valore di $k$ ho che per qualsiasi coppia $(a,b)$, con $(c,d)$ fissato a $(1,0)$, ho $(a,b)star(1,0) = (a,b)$.
Fino qui ho fatto giusto? per quanto riguarda la verifica del $(c,d)star(a,b)=(a,b)$, nella formula (a,b)⋆(c,d)=(ac+k(b-1)),ad+bc) devo sostituire le variabili $c$ con le $a$, e le $d$ con le $b$? o rimane invariata? (propendo più per la seconda)
No, in quanto [tex]$k$[/tex] dipenderebbe da [tex]$a$[/tex]; [tex]$b$[/tex] e [tex]$c$[/tex]!
Poi ho scritto una inesattezza; che ho corretta!
Poi ho scritto una inesattezza; che ho corretta!
scusa, non ho capito se il "no" era riferito al conto che ho fatto o alla domanda che ho posto riguardo allo scambio dei valori delle variabili
Il conto di [tex]$k$[/tex] è errato in quanto, trattandosi di numeri reali risulta [tex]$a+k(b-1)=a\Rightarrow k(b-1)=0$[/tex]; inoltre [tex]$k$[/tex] non deve dipendere dai particolari numeri reali [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex]!
uhm.. quindi un valore di $k$ per cui l'insieme sia semigruppo con uno è lo $0$? e a questo valore però devo associare la coppia $(c,d)$ che rende vero $(a,b)star(c,d)=(a,b)=(c,d)star(a,b)$?
Potresti darmi qualche indizio in più per risolvere l'esercizio?
Grazie mille
Potresti darmi qualche indizio in più per risolvere l'esercizio?
Grazie mille
Io proverei a risolvere "l'equazione" [tex]$(a;b)\cdot(c;d)=(ac+k(b-1);ad+bc)=(a;b)$[/tex] sicché dovresti avere che l'elemento neutro esiste solo per [tex]$k=0$[/tex] ed è [tex]$(1;0)$[/tex].
Non mi è ben chiaro perchè k dev'essere indipendente dai valori di a e b...
l'elemento invertibile per $k=0$ è $(1/a, (b(a-1))/a^2)$ ?
l'elemento invertibile per $k=0$ è $(1/a, (b(a-1))/a^2)$ ?
Altri dovrebbe essere [tex]$k$[/tex] un numero in funzione di [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex].
L'elemento inverso come lo hai determinato?
L'elemento inverso come lo hai determinato?
sapendo che l'elemento inverso $(x,y)$ è tale da rendere $(a,b)star(x,y)=(ax +k(b-1),ay+bx) = (1,1)$ per qualsiasi valore di $a,b$, ho cercato l'elemento invertibile con $k=0$ come richiesto dall'esercizio:
$(ax + 0(b-1), ay+bx) = (ax, ay+bx) = (1,1)$, quindi $ax = 1$ segue $x=1/a$, $ay+b(1/a) = 1$ segue $y=(a-b)/a^2$, e quindi $(x,y) = (1/a, (a-b)/a^2);
ad esempio: se $a=3$ e $b=5$ abbiamo:
$(3,5)star(1/3, -2/3^2) = (3*1/3, 3*((3-5)/3^2)+5*(1/3)) = (1,1)$
giusto?
$(ax + 0(b-1), ay+bx) = (ax, ay+bx) = (1,1)$, quindi $ax = 1$ segue $x=1/a$, $ay+b(1/a) = 1$ segue $y=(a-b)/a^2$, e quindi $(x,y) = (1/a, (a-b)/a^2);
ad esempio: se $a=3$ e $b=5$ abbiamo:
$(3,5)star(1/3, -2/3^2) = (3*1/3, 3*((3-5)/3^2)+5*(1/3)) = (1,1)$
giusto?
Quello che hai calcolato è l'elemento neutro a destra; hai verificato che lo sia a sinistra? 
Più che altro dovresti determinare gli elementi invertibili e non che il semigruppo sia un gruppo!
Più che altro dovresti determinare gli elementi invertibili e non che il semigruppo sia un gruppo!
"j18eos":
Quello che hai calcolato è l'elemento neutro a destra; hai verificato che lo sia a sinistra?
a proposito di questo volevo chiederti:
l'elemento invertibile di $x$ è quel $x_1$ tale che $x*x_1 = 1$, da cui segue $x_1 = x^-1$. Ora devo verificare che anche $x^-1x = 1$, però come ti avevo chiesto qualche post fa devo invertire i valori di $x$ con $x_1$ oppure lasciare gli stessi?
un esempio pratico:
$x=2, y=x^-1=1/2$ => $xy=1$ e fin qui non ci piove.
Ora provo che sia invertibile sinistro: il dubbio è il seguente: $x=2$ e $y=1/2$ o $x=1/2$ e $y=2$? lascio invariati i valori o li inverto?
Più che altro dovresti determinare gli elementi invertibili e non che il semigruppo sia un gruppo!
se ho capito quello che mi devi dire, la tua è un'osservazione sul mio "per qualsiasi valore di $(a,b)$ ho cercato l'elemento invertibile" giusto?
Quello che tu hai definito elemento invertibile è la definizione di elemento invertibile a destra; se lo fosse anche a sinistra si direbbe invertibile! Nel caso dei monoidi (semigruppi unitari) tali elementi inversi coincidono.
Sì, hai capito la mia osservazione.
Sì, hai capito la mia osservazione.
"j18eos":
Quello che tu hai definito elemento invertibile è la definizione di elemento invertibile a destra; se lo fosse anche a sinistra si direbbe invertibile! Nel caso dei monoidi (semigruppi unitari) tali elementi inversi coincidono.
ok, ma la cosa che non ho capito è come funziona l'invertibilità a destra e a sinistra.. posto che l'invertibile destra l'ho trovata, quale delle due seguenti è l'inversa sinistra?
1) $(x,y)star(a,b)=(ax +k(y-1),ay+bx) = (1,1)$
2) $(x,y)star(a,b)=(xa +k(y-1),xb+ya) = (1,1)$
anche se riguardandole mi sembra di aver posto una domanda del tutto inutile perchè, se la tarda ora e il sonno non mi ingannano, sono equivalenti.. comunque c'è una definizione più corretta dell'altra riguardo l'inversa sinistra tra queste 2? oppure è completamente diversa?
Hai scritto 2 volte il medesimo primo membro, modifica (tasto in alto a sinistra del post)!
EDIT: vedi anche il successivo intervento di Martino; che ringrazio.
EDIT: vedi anche il successivo intervento di Martino; che ringrazio.
"BeNdErR":Perché lo poni uguale a (1,1) e non a (1,0) ?
l'elemento inverso $(x,y)$ è tale da rendere $(a,b)star(x,y)=(ax +k(b-1),ay+bx) = (1,1)$
Quando k=0 l'elemento neutro è (1,0), non (1,1).
Con questo conto stai cercando l'inverso a destra di (a,b) se esiste. Poi se avviene che [tex](x,y) \cdot (a,b) = (1,0)[/tex] allora questo (x,y) sarà anche l'inverso a sinistra di (a,b).
hai ragione, mi son accorto poi che stavo facendo conti in utili in quanto la base era sbagliato
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