Segno di una permutazione, teorema
Buonasera matematici,
sto seguendo il corso di algebra lineare all'università, e, per dimostrare l'esistenza e l'unicità del determinante della matrice, il tutor ha utilizzato un approccio che coinvolge il gruppo delle permutazioni. Molti teoremi, però, non li ha dimostrati, il che mi dà molto fastidio; per cui sto facendo un mini-corso autonomo su questo particolare gruppo e sono incappato nel cruciale e fondamentale teorema:
" Sia \( n\geq2 \). Se una permutazione \( \alpha\in S_n \) si scrive come prodotto di un numero pari (rispettivamente dispari) di trasposizioni, allora \( \alpha \) non si può rappresentare come prodotto di un numero dispari (rispettivamente pari) di trasposizioni. "
Nel seguente url: http://progettomatematica.dm.unibo.it/P ... ni/fr6.htm c'è una dimostrazione che però mi confonde in alcuni passaggi, quali:
Sia \( \Gamma_j \) la prima trasposizione dove \( m \) non compare (contando da destra verso sinistra). Sicuramente avremo che \( j\neq k \). Per quale motivo? Cioè non mi è per niente chiaro.
E, inoltre, non capisco la (2)!
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi riformulando questa dimostrazione.
sto seguendo il corso di algebra lineare all'università, e, per dimostrare l'esistenza e l'unicità del determinante della matrice, il tutor ha utilizzato un approccio che coinvolge il gruppo delle permutazioni. Molti teoremi, però, non li ha dimostrati, il che mi dà molto fastidio; per cui sto facendo un mini-corso autonomo su questo particolare gruppo e sono incappato nel cruciale e fondamentale teorema:
" Sia \( n\geq2 \). Se una permutazione \( \alpha\in S_n \) si scrive come prodotto di un numero pari (rispettivamente dispari) di trasposizioni, allora \( \alpha \) non si può rappresentare come prodotto di un numero dispari (rispettivamente pari) di trasposizioni. "
Nel seguente url: http://progettomatematica.dm.unibo.it/P ... ni/fr6.htm c'è una dimostrazione che però mi confonde in alcuni passaggi, quali:
Sia \( \Gamma_j \) la prima trasposizione dove \( m \) non compare (contando da destra verso sinistra). Sicuramente avremo che \( j\neq k \). Per quale motivo? Cioè non mi è per niente chiaro.
E, inoltre, non capisco la (2)!
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi riformulando questa dimostrazione.
Risposte
Se non comparisse in nessun altra trasposizione allora $m$ non sarebbe fissato. Il due sono proprietà facilmente dimostrabili. Comunque la dimostrazione in se non la trovo bellissima.
eh ma perché "m" non sarebbe lasciato fisso dall'identità?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo