Se un sottogruppo è normale ed è inoltre un p-Sylow allora è unico?

[jellybean22]

Buona sera a tutti, mi è venuto un piccolo dubbio:
supponiamo di avere un gruppo G e per ipotesi di avere un sottogruppo normale. Supponiamo inoltre che codesto sottogruppo sia in particolare un p-Sylow, con p fissato; sia P. Alla luce del secondo Teorema di Sylow so che il numero di p-Sylow è dato da $n_p=|G|/|N(P)|$ dove $N(P)$ è il normalizzante di un qualsiasi p-sylow (io scelgo P). Ma il normalizzante di $P$ è tutto $G$, allora $n_p=1$. Posso dunque concludere che se un sottogruppo è normale ed è un p-sylow allora è unico? Mentre se un sottogruppo è normale ma non è un p-Sylow allora non è necessariamente unico?
Il mio ragionamento è pessimo? Oppure è valido?

Grazie a tutti.

[Paolo902]

Mi pare corretto: i $p$-sylow sono tutti coniugati tra loro, ma essendo normali tutti coincidono. Conclusione: c'è un solo p-Sylow.

[jellybean22]

Grazie .

*Update: effettivamente non avevo pensato al fatto che fossero coniugati. Quindi supponiamo di avere due p-Sylow ed inoltre di sapere che uno dei due è normale. Siano $P$ e $P_1$ con P normale in G. Poiché sono coniugati allora $P_1$=$gPg^-1$ per qualche G. Ma la normalità di P implica che sono lo stesso sottogruppo. Ho capito bene?