Se F è un campo, un ideale $(p(x))$ di $F[x]$ è massimale se e solo se $p(x)$ è irriducibile
Nell'Herstein ho trovato questa affermazione
"Se F è un campo, un ideale $A = (p(x))$ di $F[x]$ è massimale se e solo se $p(x)$ è irriducibile su $F$"
la cui dimostrazione è lasciata al lettore. Provo a farla, crepi la pigrizia...
Scrivo per comodità $p = p(x)$.
Suppongo $(p)$ massimale e sia $p(x) = ab $. Considero l'elemento $a$. Se $a$ è invertibile ho finito; altrimenti considero l'ideale somma $(a) + (p)$.
Ho due possibilità, essendo (p) massimale:
1) $(a) + (p) = F$
2) $(a) + (p) = (p)$
Nel caso (1) ho che $ax + py = 1$ per qualche $x$ e $y$. Quindi $ax + aby = 1$ da cui $a(x +by) = 1$. Ma $a$ divide 1 solo se è $+-1$.
Nel caso (2) posso scrivere $a + px = py$ (va bene qui?
posso scrivere $a$ è non un prodotto $a*...$?), da cui $a = p(y-x)$ e $a = ab(y-x)$. Allora $1 = b(y-x)$ cioè $b$ è invertibile.
Per il viceversa, posso dire che F è euclideo? Così sarebbe un PID, e in un PID vale che se $p$ è irriducibile, allora $(p)$ massimale.
"Se F è un campo, un ideale $A = (p(x))$ di $F[x]$ è massimale se e solo se $p(x)$ è irriducibile su $F$"
la cui dimostrazione è lasciata al lettore. Provo a farla, crepi la pigrizia...
Scrivo per comodità $p = p(x)$.
Suppongo $(p)$ massimale e sia $p(x) = ab $. Considero l'elemento $a$. Se $a$ è invertibile ho finito; altrimenti considero l'ideale somma $(a) + (p)$.
Ho due possibilità, essendo (p) massimale:
1) $(a) + (p) = F$
2) $(a) + (p) = (p)$
Nel caso (1) ho che $ax + py = 1$ per qualche $x$ e $y$. Quindi $ax + aby = 1$ da cui $a(x +by) = 1$. Ma $a$ divide 1 solo se è $+-1$.
Nel caso (2) posso scrivere $a + px = py$ (va bene qui?
posso scrivere $a$ è non un prodotto $a*...$?), da cui $a = p(y-x)$ e $a = ab(y-x)$. Allora $1 = b(y-x)$ cioè $b$ è invertibile. Per il viceversa, posso dire che F è euclideo? Così sarebbe un PID, e in un PID vale che se $p$ è irriducibile, allora $(p)$ massimale.
Risposte
Il primo verso direi che va bene. In (2), se $a \in (p)$ allora $a = py$ per qualche $y$; e' la definizione di ideale principale. Perche' hai dubbi sul prodotto?
Se $F$ e' un campo, allora $F[x]$ e' un dominio euclideo, dove la "norma" (che poi una norma non e') e' data dal grado (se il resto non e' nullo). Non credo che l'uso del "cannoncino" $ED \implies PID$ sia necessario, ma non vedo scorciatoie a meno che non si sappia che gli ideali di $F[x]$ sono almeno finitamente generati (e allora si dimostra che i divisori di $p$ sono solo invertibili o associati).
Se $F$ e' un campo, allora $F[x]$ e' un dominio euclideo, dove la "norma" (che poi una norma non e') e' data dal grado (se il resto non e' nullo). Non credo che l'uso del "cannoncino" $ED \implies PID$ sia necessario, ma non vedo scorciatoie a meno che non si sappia che gli ideali di $F[x]$ sono almeno finitamente generati (e allora si dimostra che i divisori di $p$ sono solo invertibili o associati).
Ciao pappappero,
Rivedendolo mi pare chiaro, ora, anche se non avrei dato come ipotesi il fatto che $a \in (p)$ (almeno in base ai lemmi che ho visto finora). Lo farei derivare da questo:
$(a) + (p) = (p)$ equivale a $az + px = py$ (senza dire nulla di $a$). Poi dico: in particolare, per $z = 1$ ho $a = p(y-x)$ e quindi $a \in (p)$ per la definizione di ideale.
E' corretto?
Su questo mi sono un po' chiarita in questi ultimi giorni: per il momento mi basta sapere se una struttura è o non è un PID (es. Z[x] non lo è perché si dà un controesempio, Q[x] lo è per quello che dici tu).
Purtroppo ho un libro veramente liofilizzato in cui da due righe uno deve capire il mondo, per cui sto cercando di arrangiarmi con altri libri. Fortuna che l'argomento è bello, forse il mio preferito tra quelli incontrati finora
.
"Pappappero":
In (2), se a∈(p) allora a=py per qualche y; e' la definizione di ideale principale. Perche' hai dubbi sul prodotto?
Rivedendolo mi pare chiaro, ora, anche se non avrei dato come ipotesi il fatto che $a \in (p)$ (almeno in base ai lemmi che ho visto finora). Lo farei derivare da questo:
$(a) + (p) = (p)$ equivale a $az + px = py$ (senza dire nulla di $a$). Poi dico: in particolare, per $z = 1$ ho $a = p(y-x)$ e quindi $a \in (p)$ per la definizione di ideale.
E' corretto?
"Pappappero":
Se F e' un campo, allora F[x] e' un dominio euclideo, dove la "norma" (che poi una norma non e') e' data dal grado (se il resto non e' nullo). Non credo che l'uso del "cannoncino" ED⇒PID sia necessario, ma non vedo scorciatoie a meno che non si sappia che gli ideali di F[x] sono almeno finitamente generati (e allora si dimostra che i divisori di p sono solo invertibili o associati).
Su questo mi sono un po' chiarita in questi ultimi giorni: per il momento mi basta sapere se una struttura è o non è un PID (es. Z[x] non lo è perché si dà un controesempio, Q[x] lo è per quello che dici tu).
Purtroppo ho un libro veramente liofilizzato in cui da due righe uno deve capire il mondo, per cui sto cercando di arrangiarmi con altri libri. Fortuna che l'argomento è bello, forse il mio preferito tra quelli incontrati finora
.
Se hai $(a) + (p) = (p)$ significa che ogni elemento di $(a)+(p)$ e' un elemento di $(p)$. Siccome $a = a+0$ e' elemento di $(a)+(p)$ puoi applicare l'argomento che ho usato io sopra.
Che libro usi?
Che libro usi?
"Pappappero":
Se hai (a)+(p)=(p) significa che ogni elemento di (a)+(p) e' un elemento di (p). Siccome a=a+0 e' elemento di (a)+(p) puoi applicare l'argomento che ho usato io sopra.
ok
chiaro adesso.Uso Barbieri Viale, Che cos'è un numero. E' sintetico, vanno "ricostruite" con un po' di pazienza le implicazioni non esplicitate. Ho anche Herstein e quello spesso mi aiuta, perché lo trovo più didattico. Sono una studentessa lavoratrice, quindi non ho frequentato e preparo l'esame coi libri.
L'Herstein e' un gran bel libro anche se un po' difficile. Ho sentito parlar bene di Bosch "Algebra" anche se non ci ho mai studiato davvero. E poi c'e' Hungerford, che didatticamente non e' proprio il massimo ma ha un sacco di esercizi che fanno capire benissimo cosa succede.
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