Se A è un dominio => A[x] è un dominio.

[pollon871]

Se A è un dominio => A[x] è un dominio.
Inoltre Se A è un dominio principale => A[x] è un dominio principale. E fin quì ok.
Ma se considero J ideale di A[x] principale, come si prova la condizione
J ideale massimale di A[x] => A[x]/J (quoziente) è un campo
?
Mi sfugge la dimostrazione
Grazie a tutti

[Marcos871]

Sia $A$ un anello e $I$ un ideale massimale. Sia $a\notin I$ allora $J=I+(a)=A$ essendo $I$ massimale. Quindi $1=i+ax$, ossia $1-ax\in I$. Allora $ax +I=(a+I)(x+I)=(1+I)$, ossia per ogni $a+I$ esiste $x+I$ che risulta essere l'inverso rispetto alla moltiplicazione.

[killing_buddha]

Gli ideali di R/J sono in biiezione con gli ideali di R che contengono J; d'altra parte a contenere J sono solo J stesso (e questo ti da' l'ideale banale, lo zero nell'anello quoziente), e tutto R, il quale ti da' tutto l'anello quoziente. Quando un anello non ha ideali non banali e' un anello con divisione, ovvero, se e' commutativo, e' un campo. Nota che questo ti permette di ottenere quasi gratis anche il viceversa.