Scomposizione polinomio
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto su questo esercizio:
Dire se il polinomio $x^4 – x^3 + 5x – 2$ è irriducibile, considerando i coefficienti in $ZZ, ZZ_2, ZZ_3$.
L'unico problema è nella scomposizione in $ZZ$ : ho imposto l'uguaglianza $(x^2 + ax + b)(x^2 +cx +d) = x^4 – x^3 + 5x – 2$ e ottenuto
$a+c=-1$
$b+ac+d=0$
$bc+ad=5$
$db=-2$
Ora come devo procedere?
Dire se il polinomio $x^4 – x^3 + 5x – 2$ è irriducibile, considerando i coefficienti in $ZZ, ZZ_2, ZZ_3$.
L'unico problema è nella scomposizione in $ZZ$ : ho imposto l'uguaglianza $(x^2 + ax + b)(x^2 +cx +d) = x^4 – x^3 + 5x – 2$ e ottenuto
$a+c=-1$
$b+ac+d=0$
$bc+ad=5$
$db=-2$
Ora come devo procedere?
Risposte
Devi vedere se cambia segno è l'unico modo che mi viene in mente... Calcola il minimo è vedi se è negativo
Ti ringrazio per la risposta ma non ho capito cosa intendi, potresti spiegarmi più dettagliatamente?
Niente niente pensavo erroneamente ad una scomposizione in $RR$...
Se è scomponibile in $ZZ$ vuol dire che le radici intere dividono il termine noto cioè $-2$ quindi le possibili radici sono $\pm 1$ e $\pm 2$...
Se è scomponibile in $ZZ$ vuol dire che le radici intere dividono il termine noto cioè $-2$ quindi le possibili radici sono $\pm 1$ e $\pm 2$...
Si quello lo so, ma entrambe non sono radici, quindi per il criterio della radice il polinomio non ha fattori di primo grado in $ZZ$, però potrebbe averne di secondo grado, motivo per cui ho imposto quell'uguaglianza, ora dovrei in qualche modo dimostrare che le soluzioni a cui sono arrivato non sono casi possibili e quindi il polinomio è irriducibile oppure il contrario.
Per risolvere quel sistema ti conviene sostituire i possibili valori per $d$ e $b$ che sono quelli detti prima $\pm 1$ e $\pm 2$ li provi e vedi...
$d=1$ $b=-2$
$d=2$ $b=-1$
....
$d=1$ $b=-2$
$d=2$ $b=-1$
....
Ora ho capito ti ringrazio
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