Scomposizione in fattori irriducibili in anelli di polinomi

[fabry881]

Ciao ragazzi, dovrei decomporre il polinomio $x^7 - 2x^6 - x + 2$ in fattori irriducibili nei seguenti anelli di polinomi: $C$[x], $R$[x], $Q$[x], $Z_7$[x].

Sono giunto alla scomposizione $(x-2)(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)$ che dovrebbero essere i fattori irridbucili in $R$[x].
Il problema è che non so come scomporre i fattori di secondo grado in $C$[x].
Qualcuno può aiutarmi?

[otta96]

Con la formula delle equazioni di secondo grado.

[fabry881]

Grazie per la risposta, quindi in $C$[x] la scomposizione è
$(x−2)(x+1)(x - 1/2 - isqrt{3}/2)(x - 1/2 + isqrt{3}/2)(x−1)(x + 1/2 - isqrt{3}/2)(x + 1/2 + isqrt{3}/2)$, corretto?
Quella a cui ero arrivato era in $R$[x] e $Q$[x]?
E per $Z_7$[x] procedo riducendo i coefficienti mod 7, ottenendo $x^7+5^6+6x+2$, applico due volte ruffini, e con un raccoglimento giungo a $(x-1)(x+1)(x+5)(x^4 + x^2 +1)$, ho finito?

[otta96]

"fabry88":Grazie per la risposta, quindi in $C$[x] la scomposizione è
$(x−2)(x+1)(x - 1/2 - isqrt{3}/2)(x - 1/2 + isqrt{3}/2)(x−1)(x + 1/2 - isqrt{3}/2)(x + 1/2 + isqrt{3}/2)$, corretto?
Quella a cui ero arrivato era in $R$[x] e $Q$[x]?

Si. Quando lo fai su $ZZ/(7ZZ)$ invece non devi ripartire dall'inizio, puoi sfruttare ciò che hai già ottenuto, valutando se $x^2+-x+1$ è irriducibile o no.

[fabry881]

Quindi riduco direttamente la scomposizione che avevo ottenuto mod7 e trovo
$(x+5)(x+1)(x^2+6x+1)(x+6)(x^2+x+1)$
che in effetti è la scomposizione che avevo trovato con il triplo dei calcoli e i due fattori di secondo grado sono irriducibili in $ZZ_7$ giusto?
Grazie per l'aiuto.

[otta96]

Non sono irridicibili, prova a sostituirci gli elementi di $ZZ/(7ZZ)$ e te ne accorgerai.

[fabry881]

Si hai ragione, in $ZZ_7$ diventano
$(x^2+6x+1) = (x-3)(x+9)$ e $(x^2+x+1) = (x-2)(x+3)$

[otta96]

Esatto, poi $x+9$ lo puoi scrivere come $x+2$.