Scomposizione gruppo $GL_2(RR)$
Salve, ho un problema riguardante le serie di composizione di un gruppo infinito, in particolare $GL_2(RR)$ ovvero il gruppo delle matrici quadrate invertibili $2 \times 2$.
Viene definito $N = \lambda I_2, \ \lambda \in RR^+$, dove $I_2$ è la matrice unità. L'esercizio chiede di provare che la serie subnormale $GL_2(RR) \ge N \ge \{ I_2 \}$ non ammette rifinimenti che la rendano una serie di composizione.
Più in generale, mi sembra di capire che $GL_2(RR)$ non ammette serie di composizione.
Cercando su internet non ho trovato nessun documento che tratti in maniera più o meno chiara questi argomenti per gruppi di dimensione infinita. Mi andrebbe bene anche un link ad una spiegazione con qualche esempio.
Viene definito $N = \lambda I_2, \ \lambda \in RR^+$, dove $I_2$ è la matrice unità. L'esercizio chiede di provare che la serie subnormale $GL_2(RR) \ge N \ge \{ I_2 \}$ non ammette rifinimenti che la rendano una serie di composizione.
Più in generale, mi sembra di capire che $GL_2(RR)$ non ammette serie di composizione.
Cercando su internet non ho trovato nessun documento che tratti in maniera più o meno chiara questi argomenti per gruppi di dimensione infinita. Mi andrebbe bene anche un link ad una spiegazione con qualche esempio.
Risposte
Segue semplicemente dal fatto che il gruppo [tex]N \cong \mathbb{R}^+[/tex] non ammette serie di composizione, dato che se l'ammettesse esisterebbe [tex]L \unlhd N[/tex] con [tex]N/L[/tex] semplice, quindi finito di ordine primo (perché abeliano), e ti lascio dimostrare che [tex]\mathbb{R}^+[/tex] non ammette sottogruppi di indice primo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo