Scomposizione di $x^27 - x \in \Z_3[x]$ in fattori irriducibili
Qualcuno può aiutarmi con la scomposizione in fattori irriducibili del polinomio $x^27 - x$ a coefficienti in $\Z_3$?
Grazie mille, buon Natale!,
Rodolfo
Grazie mille, buon Natale!,
Rodolfo
Risposte
Inizia dalla più cretina delle radici...
[xdom="vict85"]Il regolamento richiede un tentativo da parte tua.[/xdom]
@j18eos: d'accordo che ci sono 2 radici banali e le altre sono un esempio standard di qualsiasi libro, ma potevi dirlo più gentilmente.
@rodolfo medina: prima di darti qualsiasi aiuto voglio vedere almeno le 2 radici banali.
@j18eos: d'accordo che ci sono 2 radici banali e le altre sono un esempio standard di qualsiasi libro, ma potevi dirlo più gentilmente.
@rodolfo medina: prima di darti qualsiasi aiuto voglio vedere almeno le 2 radici banali.
"vict85":
...@j18eos:... ma potevi dirlo più gentilmente...
$x^27 - x = x (x^26 - 1) = x ((x^13)^2 - 1) = x (x^13 + 1) (x^13 - 1)$. Dopodiché...?
"j18eos":
[quote="vict85"]...@j18eos:... ma potevi dirlo più gentilmente...
[/quote]Non preoccuparti, sono sul treno e ad una lettura veloce mi era sembrato più cattivo il messaggio.
@Vittorio Ah ok! 
@Rodolfo C'è un'altra radice banale, oltre che allo \(\displaystyle0_3\)!
@Rodolfo C'è un'altra radice banale, oltre che allo \(\displaystyle0_3\)!
"Rodolfo Medina":
$x (x^13 + 1) (x^13 - 1)$. Dopodiché...?
Per \(x^{13} -1\) c'è un passaggio standard. Che riporta a quello che diceva j18eos:
"j18eos":
C'è un'altra radice banale, oltre che allo \( \displaystyle0_3 \)!
Tenendo conto dell'uguaglianza $a^n - b^n = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \ldots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$, valida qualunque siano gli elementi $a$ e $b$ di un anello commutativo unitario e qualunque sia $n \in \N$, abbiamo $x^{13} - 1 = (x - 1) (x^{12} + x^{11} + \ldots + x - 1)$ nonché $x^{13} + 1 = x^{13} - (- 1) = (x + 1) (x^{12} - x^{11} + x^{10} - x^9 + \ldots + x^2 - x + 1)$ ergo $x^{27} - x = x (x^{26} - 1) = x (x^{13} - 1) (x^{13} + 1) = x (x - 1) (x + 1) (x^{12} + x^{11} + \ldots + x - 1) (x^{12} - x^{11} + x^{10} - x^9 + \ldots + x^2 - x + 1)$. Ehi, mi ha tagliato la formula!
D'altra parte, essendo $3$ la caratteristica di $\Z_3$, è $D (x^{27} - x) = 27 x^{26} - 1 = - 1$ ergo $D (x^{27} - x)$ non ammette radici ergo tutte le radici di $x^{27} - x$ sono semplici ergo i due ultimi fattori della precedente scomposizione, entrambi di grado $12$, non ammettono radici in $\Z_3$. Sono stato bravo? E ora?
Grazie.
D'altra parte, essendo $3$ la caratteristica di $\Z_3$, è $D (x^{27} - x) = 27 x^{26} - 1 = - 1$ ergo $D (x^{27} - x)$ non ammette radici ergo tutte le radici di $x^{27} - x$ sono semplici ergo i due ultimi fattori della precedente scomposizione, entrambi di grado $12$, non ammettono radici in $\Z_3$. Sono stato bravo? E ora?
Grazie.
Dopo aver corretto qualche segno: hai finito!
Vuoi dire che quei due fattori di grado 12 sono irriducibili?
Hai sbagliato qualche segno nei fattori di grado \(\displaystyle12\)!
Provo a correggere:
$x^{27} - x = x (x^{26} - 1) = x (x^{13} - 1) (x^{13} + 1) = x (x - 1) (x + 1) (x^{12} + x^{11} + \ldots + x + 1) (x^{12} - x^{11} + x^{10} - x^9 + \ldots + x^2 - x - 1)$
...Non capisco, continua a tagliarmi la formula
$x^{27} - x = x (x^{26} - 1) = x (x^{13} - 1) (x^{13} + 1) = x (x - 1) (x + 1) (x^{12} + x^{11} + \ldots + x + 1) (x^{12} - x^{11} + x^{10} - x^9 + \ldots + x^2 - x - 1)$
...Non capisco, continua a tagliarmi la formula
L'ultimo coefficiente scritto è \(\displaystyle+1\).
Prova con:
Prova con:
\[ \\ %Per andare a capo. \]
Ma i fattori di grado \(12\) non sono irriducibili! Siamo in \(\mathbb{F}_3\), mica in \(\mathbb{Q}\) 
se fossero irriducibili il campo ottenuto quozientando \(\mathbb{F}_3 [x]\) con l'ideale generato da uno dei due sarebbe un campo con \(3^{12}=531441\) elementi, mentre il campo di spezzamento di quel polinomio ha al più (e in effetti esattamente) \(27\) elementi.
Il punto è che per trovarne i fattori serve un po' di teoria dei campi e taaanta combinatoria.
se fossero irriducibili il campo ottenuto quozientando \(\mathbb{F}_3 [x]\) con l'ideale generato da uno dei due sarebbe un campo con \(3^{12}=531441\) elementi, mentre il campo di spezzamento di quel polinomio ha al più (e in effetti esattamente) \(27\) elementi.Il punto è che per trovarne i fattori serve un po' di teoria dei campi e taaanta combinatoria.
Ho scritto una castroneria!, in effetti serve un pò di teoria di Galois per scomporre quei polinomi di grado \(\displaystyle12\)!
Sia [tex]f(X)[/tex] un polinomio monico irriducibile di grado [tex]3[/tex] in [tex]\mathbb{F}_3[X][/tex] e sia [tex]a[/tex] un suo zero in un'opportuna estensione di [tex]\mathbb{F}_3[/tex].
Allora [tex]\mathbb{F}_3[a] \cong \mathbb{F}_3[X]/(f(X))[/tex] è un campo di 27 elementi, quindi [tex]a^{27}=a[/tex] (infatti [tex]a \in F-\{0\}[/tex] che è un gruppo di 26 elementi quindi [tex]a^{26}=1[/tex] per il teorema di Lagrange). Quindi [tex]a[/tex] è zero di [tex]X^{27}-X[/tex].
Ma allora [tex]f(X)[/tex], polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]\mathbb{F}_3[/tex], deve dividere [tex]X^{27}-X[/tex]. Questo ti dice che tutti i polinomi monici irriducibili di grado 3 dividono [tex]X^{27}-X[/tex]. Sono tanti eh
e non difficili da trovare.
Allora [tex]\mathbb{F}_3[a] \cong \mathbb{F}_3[X]/(f(X))[/tex] è un campo di 27 elementi, quindi [tex]a^{27}=a[/tex] (infatti [tex]a \in F-\{0\}[/tex] che è un gruppo di 26 elementi quindi [tex]a^{26}=1[/tex] per il teorema di Lagrange). Quindi [tex]a[/tex] è zero di [tex]X^{27}-X[/tex].
Ma allora [tex]f(X)[/tex], polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]\mathbb{F}_3[/tex], deve dividere [tex]X^{27}-X[/tex]. Questo ti dice che tutti i polinomi monici irriducibili di grado 3 dividono [tex]X^{27}-X[/tex]. Sono tanti eh
e non difficili da trovare.
Fornisco un'altra spiegazione!
Nel corso di algebra, si dimostra che dato un campo finito \(\displaystyle\mathbb{F}_m\) con \(\displaystyle m\) elementi, le radici del polinomio \(\displaystyle x^m-x\) a coefficienti nel dato campo, sono tutti e soli gli elementi del dato campo; poi si dimostra che \(\displaystyle m=p^n\) con \(\displaystyle p\in\mathbb{P}_+,n\in\mathbb{N}_{>0}\), allora \(\displaystyle x^{27}-x\) è il polinomio fondamentale di \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}=\mathbb{F}_{3^3}\).
Tale campo ha caratteristica \(\displaystyle3\), quindi è uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle3\) su \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\); da quanto premesso: il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^{27}-x\) su \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\) è \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}\).
Ancora, dati i campi finiti \(\displaystyle\mathbb{F}_{p^n}\) ed \(\displaystyle\mathbb{F}_{p^m}\) si ha che il primo e sottocampo del secondo se e solo se \(\displaystyle n|m\); quindi \(\displaystyle\mathbb{F}_9\) non è un sottocampo di \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}\), onde per cui i trovi polinomi di ordine \(\displaystyle12\) non sono divisibili per polinomi irriducibili di grado \(\displaystyle2\) a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\).
Senza scomodare Galois o chissà chi: i polinomi irriducibili di grado \(\displaystyle3\) a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\) si calcolano a mano! : )
Nel corso di algebra, si dimostra che dato un campo finito \(\displaystyle\mathbb{F}_m\) con \(\displaystyle m\) elementi, le radici del polinomio \(\displaystyle x^m-x\) a coefficienti nel dato campo, sono tutti e soli gli elementi del dato campo; poi si dimostra che \(\displaystyle m=p^n\) con \(\displaystyle p\in\mathbb{P}_+,n\in\mathbb{N}_{>0}\), allora \(\displaystyle x^{27}-x\) è il polinomio fondamentale di \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}=\mathbb{F}_{3^3}\).
Tale campo ha caratteristica \(\displaystyle3\), quindi è uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle3\) su \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\); da quanto premesso: il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^{27}-x\) su \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\) è \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}\).
Ancora, dati i campi finiti \(\displaystyle\mathbb{F}_{p^n}\) ed \(\displaystyle\mathbb{F}_{p^m}\) si ha che il primo e sottocampo del secondo se e solo se \(\displaystyle n|m\); quindi \(\displaystyle\mathbb{F}_9\) non è un sottocampo di \(\displaystyle\mathbb{F}_{27}\), onde per cui i trovi polinomi di ordine \(\displaystyle12\) non sono divisibili per polinomi irriducibili di grado \(\displaystyle2\) a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\).
Senza scomodare Galois o chissà chi: i polinomi irriducibili di grado \(\displaystyle3\) a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Z}_3\) si calcolano a mano! : )
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