Scomposizione di un polinomio

[xavier86]

Salve a tutti,qualcuno sà dirmi come si scompone in fattori irriducibili il seguente polinomio in GF(3) e in GF(4)?

g(x)= X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1

Grazie

[Lorin1]

Quelli che hai indicato sono i Campi di Galois con 3 e 4 elementi!?

Comunque hai provato a vedere $g(1)$ quanto viene!?

[totissimus]

\( g(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=x^3(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x^3+1)(x^2+x+1)\)
\(=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\)

In \(GF(3)\) abbiamo:
\( x^2-x+1=x^2-x+3x+1=x^2+2x+1=(x+1)^2\)
\( x^2+x+1=x^2+x+3x+1+3=x^2+4x+4=(x+2)^2\)
Quindi: \( g(x)=(x+1)(x+1)^2(x+2)^2=(x+1)^3(x+2)^2\)
In \( GF(4)\) abbiamo:
\( x^2-x+1\) irriducibile perchè non ha radici in \( GF(4)\)
\( x^2+x+1\) irriducibile perchè non ha radici in \( GF(4)\)

[thepresident1]

Domanda: Se fosse G(4)= [0,1,a,b] avrei i polinomi x^2-x+1 riducibili in GF(4) giusto? Se ho ben capito dovrebbe essere x^2-x+1=(a-1)^2 oppure (b-1)^2 giusto???
Grazie in anticipo

[Stickelberger]

Se scriviamo $GF(4)=\{0,1,a,b\}$, allora si ha che $x^2+x+1=x^2-x+1=(x-a)(x-b)$.