Scarsa comprensione di esercizio
Salve a tutti, io ho un problema di comprensione di esercizio, che è il seguente:
L'omomorfismo [size=150]φ[/size][size=85]a[/size] da $R^3$ a $R^3$ (spazi vettoriali) non è suriettivo e le classi della sua relazione nucleare sono piani paralleli a un autospazio di A con A= $ {: ( 0 , 0 , 0 ),( 3 , 2 , 1 ),( 3 , 2 , 1 ) :} $
I miei dubbi sono molteplici: di solito, durante gli altri eserciti, so cosa fa [size=150]φ[/size][size=85]a[/size], mentre qui non riesco a capire come valutare se è suriettivo o meno senza sapere ciò che fa. Altro punto è che non riesco a capire cosa si intende con relazione nucleare(non ho trovato nulla su google), quindi men che meno capisco cosa siano le classi della relazione nucleare e ancor meno so come dimostrare che sono paralleli ad uno degli autospazi(che almeno credo di aver già trovato).
Se qualcuno potesse indirizzarmi sulla retta via gliene sarei molto grato
L'omomorfismo [size=150]φ[/size][size=85]a[/size] da $R^3$ a $R^3$ (spazi vettoriali) non è suriettivo e le classi della sua relazione nucleare sono piani paralleli a un autospazio di A con A= $ {: ( 0 , 0 , 0 ),( 3 , 2 , 1 ),( 3 , 2 , 1 ) :} $
I miei dubbi sono molteplici: di solito, durante gli altri eserciti, so cosa fa [size=150]φ[/size][size=85]a[/size], mentre qui non riesco a capire come valutare se è suriettivo o meno senza sapere ciò che fa. Altro punto è che non riesco a capire cosa si intende con relazione nucleare(non ho trovato nulla su google), quindi men che meno capisco cosa siano le classi della relazione nucleare e ancor meno so come dimostrare che sono paralleli ad uno degli autospazi(che almeno credo di aver già trovato).
Se qualcuno potesse indirizzarmi sulla retta via gliene sarei molto grato
Risposte
...avevo letto reazione nucleare! 
Ma la a minuscola e quella maiuscola sono la stessa? Cioè con $phi_a$ intendi l'applicazione lineare che ha associata la matrice $A$ rispetto alla base canonica?
Nel caso che la risposta sia sì, il fatto che $phi$ non sia suriettiva dipende dal fatto che la matrice ha associata ha rango 1.
Penso, poi, che con "relazione nucleare" s'intenda lo spazio quoziente $RR^3//Ker (phi)$ ossia l'insieme quoziente rispetto alla relazione di equivalenza che considera equivalenti due vettori se la loro differenza sta nel nucleo.
Ora il nucleo ha dimensione $dim(RR^3)-rango(A)=2$ e quindi, in base alla relazione che abbiamo appena definito, se prendiamo un vettore $v$, i vettori $w$ ad esso equivalenti sono quelli tali che $v-w$ sta in $Ker(phi)$, ossia formano il piano passante per $v$ e di giacitura $Ker(phi)$.
In generale le classi di equivalenza saranno tutti i piani paralleli a $Ker(phi)$.
Infine abbiamo che $Ker(phi)$ non è altro che l'autospazio relativo all'autovalore 0.
Ma la a minuscola e quella maiuscola sono la stessa? Cioè con $phi_a$ intendi l'applicazione lineare che ha associata la matrice $A$ rispetto alla base canonica?
Nel caso che la risposta sia sì, il fatto che $phi$ non sia suriettiva dipende dal fatto che la matrice ha associata ha rango 1.
Penso, poi, che con "relazione nucleare" s'intenda lo spazio quoziente $RR^3//Ker (phi)$ ossia l'insieme quoziente rispetto alla relazione di equivalenza che considera equivalenti due vettori se la loro differenza sta nel nucleo.
Ora il nucleo ha dimensione $dim(RR^3)-rango(A)=2$ e quindi, in base alla relazione che abbiamo appena definito, se prendiamo un vettore $v$, i vettori $w$ ad esso equivalenti sono quelli tali che $v-w$ sta in $Ker(phi)$, ossia formano il piano passante per $v$ e di giacitura $Ker(phi)$.
In generale le classi di equivalenza saranno tutti i piani paralleli a $Ker(phi)$.
Infine abbiamo che $Ker(phi)$ non è altro che l'autospazio relativo all'autovalore 0.
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