Scambio di ordine di una sommatoria doppia
Salve, sono nuovo del forum.
Ho difficoltà a comprendere alcuni concetti sulla manipolazione di sommatorie multiple, cioè con più variabili.
Arrivato al paragrafo 2.4 di Concrete Mathematics, il libro presenta due versioni di formule generali per lo scambio di ordine di una sommatoria di una sommatoria [size=85](non è una ripetizione)[/size].
La prima, versione vanilla, si presenta così:
\[ \sum_{j\in J} \sum_{k\in K} a_{j,k} = \sum_{\substack{j\in J \\ k\in K}} a_{j,k} = \sum_{k\in K} \sum_{j\in J} a_{j,k} \]
Fin qua, sembra intuitivo. Ma ciò che non mi spiego è la natura della seconda formula, versione rocky road, la quale si usa quando il range dell'indice della sommatoria più interna dipende dall'indice di quella più esterna.
\[ \sum_{j\in J} \sum_{k\in K(j)} a_{j,k} = \sum_{k\in K'} \sum_{j\in J'(k)} a_{j,k} \]
I commenti del libro su rocky road, tradotti, sono questi: "Qui gli insiemi J, K(j), K' e J'(k) devono essere connessi in modo tale che \[ [j\in J][k\in K(j)] = [k\in K'][j\in J'(k)] \]
Una fattorizzazione come questa è sempre possibile in linea di principio. Possiamo far sì che J = K' sia l'insieme di tutti gli interi e che K(j), J'(k) siano gli insiemi corrispondenti alla proprietà P(j,k), la quale governa una sommatoria doppia".
La proprietà P(j,k) di cui sopra è ogni dichiarazione circa gli indici (in questo caso due) di una sommatoria che può essere o vera o falsa.
Pertanto, quello che mi sfugge è la citazione che ho fatto, avendo io bisogno di maggiore chiarezza su rocky road.
Ciao!
P.S. L'ultima equazione che ho riportato è un'equazione iversionana, ovvero che usa la notazione di Iverson per descrivere la proprietà P(j,k).
Ho difficoltà a comprendere alcuni concetti sulla manipolazione di sommatorie multiple, cioè con più variabili.
Arrivato al paragrafo 2.4 di Concrete Mathematics, il libro presenta due versioni di formule generali per lo scambio di ordine di una sommatoria di una sommatoria [size=85](non è una ripetizione)[/size].
La prima, versione vanilla, si presenta così:
\[ \sum_{j\in J} \sum_{k\in K} a_{j,k} = \sum_{\substack{j\in J \\ k\in K}} a_{j,k} = \sum_{k\in K} \sum_{j\in J} a_{j,k} \]
Fin qua, sembra intuitivo. Ma ciò che non mi spiego è la natura della seconda formula, versione rocky road, la quale si usa quando il range dell'indice della sommatoria più interna dipende dall'indice di quella più esterna.
\[ \sum_{j\in J} \sum_{k\in K(j)} a_{j,k} = \sum_{k\in K'} \sum_{j\in J'(k)} a_{j,k} \]
I commenti del libro su rocky road, tradotti, sono questi: "Qui gli insiemi J, K(j), K' e J'(k) devono essere connessi in modo tale che \[ [j\in J][k\in K(j)] = [k\in K'][j\in J'(k)] \]
Una fattorizzazione come questa è sempre possibile in linea di principio. Possiamo far sì che J = K' sia l'insieme di tutti gli interi e che K(j), J'(k) siano gli insiemi corrispondenti alla proprietà P(j,k), la quale governa una sommatoria doppia".
La proprietà P(j,k) di cui sopra è ogni dichiarazione circa gli indici (in questo caso due) di una sommatoria che può essere o vera o falsa.
Pertanto, quello che mi sfugge è la citazione che ho fatto, avendo io bisogno di maggiore chiarezza su rocky road.
Ciao!
P.S. L'ultima equazione che ho riportato è un'equazione iversionana, ovvero che usa la notazione di Iverson per descrivere la proprietà P(j,k).
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