$root(2)(n)$ razionale con n quadrato perfetto
Salve a tutti! 
Stavo provando a dimostrare che $root(2)(n)$ è razionale se e solo se n è quadrato perfetto. Mi potreste dire se l'ho fatto nel modo corretto?
(1) Dimostro che $root(2)(n)$ è intero se e solo se n è quadrato perfetto.
$n = \alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n)$
Dove gli $\alpha_n$ sono tutti primi.
Ora:
$root(2)(n) = (\alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n))^(1/2) = \alpha_1^((p_1)/2) cdot \alpha_2^((p_2)/2) cdot \alpha_3^((p_3)/2) ... \alpha_n^((p_n)/2)$
Sappiamo che, essendo gli $\alpha$ primi, $root(2)(\alpha_n^(p_n)) = (alpha_n)^z$ con $z in NN$.
Quindi $\alpha_n^(p_n) = \alpha_n^(2z)$.
Deve cioè essere $p_n = 2z$ e cioè $p_n$ pari. Perciò $root(2)(n)$ è intero se e solo se tutti gli esponenti dei primi che compaiono nella sua fattorizzazione sono pari, che è appunto la definizione di un quadrato perfetto.
(2) Dimostro che $root(2)(n)$ è razionale solo se $root(2)(n)$ è quadrato perfetto.
Scrivo che:
$root(2)(n) = s/p rarr n = (s^2)/(p^2) rarr np^2 = s^2 rarr s = \pm p cdot root(2)(n)$
Poichè però s deve essere un intero e anche p deve esserlo allora anche $root(2)(n)$ deve essere intero e ciò accade solo quando n è quadrato perfetto, come dimostrato al punto uno.
Ne segue perciò che $root(2)(n)$ è razionale solo quando n è quadrato perfetto.
Stavo provando a dimostrare che $root(2)(n)$ è razionale se e solo se n è quadrato perfetto. Mi potreste dire se l'ho fatto nel modo corretto?
(1) Dimostro che $root(2)(n)$ è intero se e solo se n è quadrato perfetto.
$n = \alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n)$
Dove gli $\alpha_n$ sono tutti primi.
Ora:
$root(2)(n) = (\alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n))^(1/2) = \alpha_1^((p_1)/2) cdot \alpha_2^((p_2)/2) cdot \alpha_3^((p_3)/2) ... \alpha_n^((p_n)/2)$
Sappiamo che, essendo gli $\alpha$ primi, $root(2)(\alpha_n^(p_n)) = (alpha_n)^z$ con $z in NN$.
Quindi $\alpha_n^(p_n) = \alpha_n^(2z)$.
Deve cioè essere $p_n = 2z$ e cioè $p_n$ pari. Perciò $root(2)(n)$ è intero se e solo se tutti gli esponenti dei primi che compaiono nella sua fattorizzazione sono pari, che è appunto la definizione di un quadrato perfetto.
(2) Dimostro che $root(2)(n)$ è razionale solo se $root(2)(n)$ è quadrato perfetto.
Scrivo che:
$root(2)(n) = s/p rarr n = (s^2)/(p^2) rarr np^2 = s^2 rarr s = \pm p cdot root(2)(n)$
Poichè però s deve essere un intero e anche p deve esserlo allora anche $root(2)(n)$ deve essere intero e ciò accade solo quando n è quadrato perfetto, come dimostrato al punto uno.
Ne segue perciò che $root(2)(n)$ è razionale solo quando n è quadrato perfetto.
Risposte
"Edex":Questo invece dovresti dimostrarlo:
...Deve cioè essere $p_n = 2z$ e cioè $p_n$ è il numero due...
"Edex":ti suggerisco per assurdo!
...allora anche $ root(2)(n) $ deve essere intero...
Scusami j18eos non ho capito cosa intendi per dimostrare che $root(2)(n)$ deve essere intero!
Ho provato a fare la dimostrazione generale per assurdo, più o meno con la stessa tecnica che si usa per $root(2)(n)$, ma non ci sono riuscito...
Ho provato a fare la dimostrazione generale per assurdo, più o meno con la stessa tecnica che si usa per $root(2)(n)$, ma non ci sono riuscito...
E se facessi:
$root(2)(n) = p/s$ con p e s primi fra loro.
$n = p^2 / s^2 = (p/s)^2$ e $root(2)(n)$ è razionale solo se n è della forma $(p/s)^2$ cioè se è un quadrato perfetto.
Come va?:)
$root(2)(n) = p/s$ con p e s primi fra loro.
$n = p^2 / s^2 = (p/s)^2$ e $root(2)(n)$ è razionale solo se n è della forma $(p/s)^2$ cioè se è un quadrato perfetto.
Come va?:)
Ho sbagliato indicazione, basta notare che:
\[
s=p\sqrt{n}=\sqrt{p^2n}
\]
ed hai concluso dal punto (1).
\[
s=p\sqrt{n}=\sqrt{p^2n}
\]
ed hai concluso dal punto (1).
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