Risolvere sistema non parametrico

[fabioz96]

Salve, devo risolvere questo sistema; ho fatto vari passaggi ma quando vado a scrivere la soluzione non so come rispondere.
Ecco la traccia:

$\{(x_1-3x_2+5x_3-3x_4+4x_5=0),(-3x_1+10x_2-17x_3+13x_4-11x_5=0),(3x_1-10x_2+17x_3-13x_4+11x_5=0),(14x_1-47x_2+80x_3-62x_4+51x_5=0):}$

L'esercizio chiede:
1)Il rango del sistema
2)I vettori noti del sistema in funzione delle incognite secondarie
3)La soluzione generale del sistema in funzione delle incognite secondarie
4)La soluzione generale del sistema relativa ad un generico vettore noto ammissibile

Riducendo la matrice a scala, ottengo subito:
$|(1,-3,5,-3,4),(0,1,-2,4,1),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0)|$

Come devo rispondere alle domande? Come riscrivo la soluzione?
Grazie.

[fabioz96]

Vi pregò, aiutatemi, sono disperato

[billyballo2123]

A chi ti riferisci dicendo "incognite secondarie"?

[fabioz96]

Il problema è proprio questo, la simulazione d'esame fa queste domande, ma noi non riusciamo a capire cosa chiede

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[billyballo2123]

1) Il rango è uguale al numero di pivot, e dunque è due.
2) Non capisco che cosa chieda, comunque se alla riduzione a scala si affianca un generico vettore colonna di termini noti $[b_1 \ \ b_2 \ \ b_3 \ \ b_4]^T$, si ottiene $b_2+b_3=0$ e $b_1+5b_2+b_4=0$, dunque ponendo $b_3=\alpha$ e $b_4=\beta$ si ottiene
\[
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
b_4
\end{bmatrix}
=\alpha
\begin{bmatrix}
5 \\
-1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+\beta
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
3) Ponendo $x_3=s$, $x_4=t$ e $x_5=u$ (che sono le incognite secondarie) si hanno le soluzioni
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=s
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
-9 \\
-4 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+u
\begin{bmatrix}
-7 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
4) Se $[b_1 \ \ b_2 \ \ b_3 \ \ b_4]^T$ è un vettore noto ammissibile (cioè fatto come spiegato nel punto 2) ), allora le soluzioni del sistema sono quelle del punto 3) sommate al vettore dei termini noti dopo la riduzione a scala:
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
3b_1+b_2 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
-9 \\
-4 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+u
\begin{bmatrix}
-7 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]

[fabioz96]

Ora è tutto chiaro. Ti ringrazio davvero tanto e scusa ancora una volta per il disturbo.
Grazie

[billyballo2123]

Prego!