Risolvere Equazione in Z
Aiuto nel risolvere l'esercizio da esame:
Risolvere, se è possibile, in $ZZ_7$ l'equazione $x^2 -x -\bar2 = \bar0$
Svolgimento :
Ci ricordiamo la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado :
$x_(1,2) = (-b +- sqrt(b - 4ac ) ) /(2a)$
Nel nostro caso i valori sono : $a=1, b=-1, c=-2$
$x_1 = \bar1 + sqrt( \bar 1 + \bar8) * \bar(2^(-1))$
$x_2 = \bar1 - sqrt( \bar 1 + \bar8) * \bar(2^(-1))$
segue che
$x_1 = \bar1 + sqrt( \bar9) * \bar(2^(-1))$
$x_2 = \bar1 - sqrt( \bar9) * \bar(2^(-1))$
$x_1 = (\bar1 + \bar3 )* \bar(2^(-1))$
$x_2 = (\bar1 - \bar3 )* \bar(2^(-1))$
Possiamo riscrivere $\bar(2^(-1))$ in $ZZ_7$ come $\bar(2^(-1)) = \bar(2^(7-2))=\bar(2^5)=\bar32=\bar4$
Concludo dicendo
$x_1 = (\bar1 + \bar3 )* \bar4 = \bar16=\bar5$
$x_2 = (\bar1 - \bar3 )* \bar4 =\bar (-2) *\bar 4 = ?$
Voi come lo risolvereste questo esercizio?!
Risolvere, se è possibile, in $ZZ_7$ l'equazione $x^2 -x -\bar2 = \bar0$
Svolgimento :
Ci ricordiamo la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado :
$x_(1,2) = (-b +- sqrt(b - 4ac ) ) /(2a)$
Nel nostro caso i valori sono : $a=1, b=-1, c=-2$
$x_1 = \bar1 + sqrt( \bar 1 + \bar8) * \bar(2^(-1))$
$x_2 = \bar1 - sqrt( \bar 1 + \bar8) * \bar(2^(-1))$
segue che
$x_1 = \bar1 + sqrt( \bar9) * \bar(2^(-1))$
$x_2 = \bar1 - sqrt( \bar9) * \bar(2^(-1))$
$x_1 = (\bar1 + \bar3 )* \bar(2^(-1))$
$x_2 = (\bar1 - \bar3 )* \bar(2^(-1))$
Possiamo riscrivere $\bar(2^(-1))$ in $ZZ_7$ come $\bar(2^(-1)) = \bar(2^(7-2))=\bar(2^5)=\bar32=\bar4$
Concludo dicendo
$x_1 = (\bar1 + \bar3 )* \bar4 = \bar16=\bar5$
$x_2 = (\bar1 - \bar3 )* \bar4 =\bar (-2) *\bar 4 = ?$
Voi come lo risolvereste questo esercizio?!
Risposte
penso che vada bene, piccoli accorgimenti però vanno presi.penso.
il nostro delta è $\delta = 9 =2(mod7)$
$\sqrt2=3$ in $ZZ_7$ infatti $3^2=9=2$.
pertanto
$x_(1/2)=(1+-3)/(2)=(1+-3)*(2^(-1)$
quindi
$x_1=(4)*(2(^-1))$
$x_2=(-2)*(2^(-1))=5*2^(-1)$
un inverso aritmetico di $2$ è dato da $2^5=4$
pertanto
$x_1=4*4=16=2$
$x_2=6$ che ne dici?
il nostro delta è $\delta = 9 =2(mod7)$
$\sqrt2=3$ in $ZZ_7$ infatti $3^2=9=2$.
pertanto
$x_(1/2)=(1+-3)/(2)=(1+-3)*(2^(-1)$
quindi
$x_1=(4)*(2(^-1))$
$x_2=(-2)*(2^(-1))=5*2^(-1)$
un inverso aritmetico di $2$ è dato da $2^5=4$
pertanto
$x_1=4*4=16=2$
$x_2=6$ che ne dici?
davide come sempre ho il vizio di proporti qualche esercizio che ritengo un ibrido tra semplice e interessante.
Dire se il polinomio $f(X)=X^7+X^6+X^2-X-3$ ha radici in $ZZ_7$ e in caso affermativo determinarle.
Dire se il polinomio $f(X)=X^7+X^6+X^2-X-3$ ha radici in $ZZ_7$ e in caso affermativo determinarle.
Mi verrebbe da scomporla in questa maniera :
$x^7+x^6+x^2-x-3$
$x(x(x^4(x+1)+1)-1)-3$
oppure visto come :
$x^6(x+1) + x(x-1) -3 $
Fino a qui va bene?!
$x^7+x^6+x^2-x-3$
$x(x(x^4(x+1)+1)-1)-3$
oppure visto come :
$x^6(x+1) + x(x-1) -3 $
Fino a qui va bene?!
no non va bene. non lo stai fattorizzando.
E alla tua portata,
devi trovare $\alpha in ZZ_7 $ tali che $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6++\alpha^2-\alpha-3=0$
ora , $ZZ_7$ è un campo e $7$ è primo. che teorema posso usare?
E alla tua portata,
devi trovare $\alpha in ZZ_7 $ tali che $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6++\alpha^2-\alpha-3=0$
ora , $ZZ_7$ è un campo e $7$ è primo. che teorema posso usare?
"Kashaman":
no non va bene. non lo stai fattorizzando.
E alla tua portata,
devi trovare $\alpha in ZZ_7 $ tali che $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6++\alpha^2-\alpha-3=0$
ora , $ZZ_7$ è un campo e $7$ è primo. che teorema posso usare?
Intendi questo?
"GundamRX91":
[quote="Kashaman"]no non va bene. non lo stai fattorizzando.
E alla tua portata,
devi trovare $\alpha in ZZ_7 $ tali che $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6++\alpha^2-\alpha-3=0$
ora , $ZZ_7$ è un campo e $7$ è primo. che teorema posso usare?
Intendi questo?
[/quote]
Hai ragione, mi confondo sempre con il piccolo... 
"GundamRX91":
Hai ragione, mi confondo sempre con il piccolo...
. Anche se quello di Eulero è più difficile da dimostrare (o meglio fa uso del teorema di lagrange, ancora non ho trovato una dimostrazione "aritmetica " del teorema)
Teorema di Eulero
$n$ qualsiasi $(a,n)=1$
Allora $a^(\phi(n)) -= 1 (mod n)$
Corollario
$ZZ_n , (a,n)=1$ se $(a,n) => \bar{a}$ è invertibile
$\bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
Dimostrare
$\bar{a^(\phi(n))} = \bar{1}$
$\bar{(a*a^(\phi(n)-1))} =>\bar{a} *\bar{a^(\phi(n)-1)} = \bar{1} => \bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
$n$ qualsiasi $(a,n)=1$
Allora $a^(\phi(n)) -= 1 (mod n)$
Corollario
$ZZ_n , (a,n)=1$ se $(a,n) => \bar{a}$ è invertibile
$\bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
Dimostrare
$\bar{a^(\phi(n))} = \bar{1}$
$\bar{(a*a^(\phi(n)-1))} =>\bar{a} *\bar{a^(\phi(n)-1)} = \bar{1} => \bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
"Davide1986":$n$ deve essere in $ZZ$ e non qualsiasi e anche $a$ in $ZZ$ e sia $a$ che $n$ relativamente primi
Teorema di Eulero
$n$ qualsiasi $(a,n)=1$
Allora $a^(\phi(n)) -= 1 (mod n)$
ok, è la tesi va bene.
no questo non è un corollario al teorema di Eulero. Questo stabilisce quando $n in ZZ_n $ è invertibile , ma l'hai scritto male. inoltre vale la doppia implicazione!!!!!!
Corollario
$ZZ_n , (a,n)=1$ se $(a,n) => \bar{a}$ è invertibile
la forma corretta è questa.
$a in ZZ_n$ è invertibile $<=> (a,n)=1$
questo è un corollario ad Eulero
$\bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
non ha a che vedere con quello che hai scritto prima.
Dimostrare
$\bar{a^(\phi(n))} = \bar{1}$
$\bar{(a*a^(\phi(n)-1))} =>\bar{a} *\bar{a^(\phi(n)-1)} = \bar{1} => \bar{a^(-1)} = \bar{a^(\phi(n)-1)}$
no è dimostrata malissimo.
puoi fare così :
tu devi dimostrare che $AA a in U(ZZ_n) :a^-1=a^(\phi(n)-1)$
verifichiamo
$a*a^(\phi(n)-1)=a^(\phi(n)-1+1)=a^(\phi(n))=1$
ciò prova che $a^(\phi(n)-1)$ è un inverso aritmetico di $a$.
...
però mi chiedo, che ci azzecca con l'esercizio da me proposto??
Ora passo allo svolgimento del tuo esercizio..
Non so come farlo, aiuto?!Il teorema che mi hai segnalato non so come applicarlo, so che è 7 un numero dispari e e quindi ? Ammette una radice nei complessi?!
Comunque non riesco a fattorizzarlo.
Aiutooo..
Comunque non riesco a fattorizzarlo.
Aiutooo..
te hai $f(X)=X^7+X^6+X^2-X-3$ in $ZZ_7$, ne cerchi le radici, quindi poni $\alpha in ZZ_7\\{0}$
e $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2-\alpha-3$ che è la valutazione di $f(X)$ in $\alpha$
per il piccolo teorema di fermat, hai che per $\alpha$ non negativi,$\alpha^6=1$
pertanto
$f(\alpha)=\alpha+1+\alpha^2-\alpha-3=\alpha^2-2$
ora voglio che sia $f(\alpha)=\alpha^2-2=0$(1)
chi sono e quali sono le soluzioni della 1)?
e $f(\alpha)=\alpha^7+\alpha^6+\alpha^2-\alpha-3$ che è la valutazione di $f(X)$ in $\alpha$
per il piccolo teorema di fermat, hai che per $\alpha$ non negativi,$\alpha^6=1$
pertanto
$f(\alpha)=\alpha+1+\alpha^2-\alpha-3=\alpha^2-2$
ora voglio che sia $f(\alpha)=\alpha^2-2=0$(1)
chi sono e quali sono le soluzioni della 1)?
Cosi io la svolgerei :
$f(\alpha) = \alpha^2 -\bar{2} = \bar{0}$ segue che $\alpha^2 =\bar{2} =>\alpha_(1,2) = +- sqrt(\bar{2}) => \alpha_(1,2) = +- sqrt(\bar{9}) => \alpha_(1,2) = +- 3$
$f(\alpha) = \alpha^2 -\bar{2} = \bar{0}$ segue che $\alpha^2 =\bar{2} =>\alpha_(1,2) = +- sqrt(\bar{2}) => \alpha_(1,2) = +- sqrt(\bar{9}) => \alpha_(1,2) = +- 3$
mi pare giusto.
un'altro paio di esercizi :
1) Verificare che il polinomio $x^2+7 in ZZ_8$ ha più di due radici. Si saprebbe dire il perché?
2) provare che il polinomio $g(x)=x^100+1$ ha esattamente cento radici in $ZZ_101$
hint per il 2
1) Verificare che il polinomio $x^2+7 in ZZ_8$ ha più di due radici. Si saprebbe dire il perché?
2) provare che il polinomio $g(x)=x^100+1$ ha esattamente cento radici in $ZZ_101$
hint per il 2
Stavo rifacendo gli esercizi e mi sono imbattuto in una cosa che non capisco più :
Esempio all'esercizio : Risolvere, se è possibile, in $ZZ_7$ l'equazione : $x^2 -x -2 = 0$ fino a trovare le $x$ tutto ok .
Ora non riesco a ricordare i passaggi per trasformare $2^(-1) $ a dire che è $2^(5)$ ? poi mi ricordo come da $2^(5) = 4$
Esempio all'esercizio : Risolvere, se è possibile, in $ZZ_7$ l'equazione : $x^2 -x -2 = 0$ fino a trovare le $x$ tutto ok .
Ora non riesco a ricordare i passaggi per trasformare $2^(-1) $ a dire che è $2^(5)$ ? poi mi ricordo come da $2^(5) = 4$
$\phi(7)=7-1=6$ sei d'accordo? è la funzione di Eulero.
quindi $2^6=1$ in $ZZ_7$
ma allora $2^5*2=1$ ne segue che $2^(-1)=2^5=32=4(mod7)$
quindi $2^6=1$ in $ZZ_7$
ma allora $2^5*2=1$ ne segue che $2^(-1)=2^5=32=4(mod7)$
Grazie Mille 
adesso faccio altri esercizi a dopo .
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