Risoluzione serie di coefficienti binomiali

[Deckard1]

Salve a tutti.
Sperando di non avere sbagliato sezione (i coefficienti binomiali si usano principalmente in combinatoria, ma il mio problema è più un problema di calcolo / semplificazione tra coeff. bin. e quindi penso che possa ricadere nella sezione dedicata alla matematica discreta) volevo chiedere il vostro aiuto su degli esercizi che non riesco proprio a risolvere.
Inizio a proporvi il primo e spero che il vostro aiuto possa "sbloccarmi" anche nei successivi.
Il testo è il seguente:

Calcola il valore delle seguenti somme. La tua risposta deve essere un'espressione contenente uno o due coefficienti binomiali.
$ sum_(k) ( ( 80 ),( k ) ) ( ( k+1 ),( 31 ) ) $

Ho provato a semplificare l'espressione in questo modo:
$ = sum_(k) ( ( 80 ),( k ) ) ( ( k ),( 30 ) ) (k+1)/31 = sum_(k) ( ( 80 ),( 30 ) ) ( ( 50 ),( k-30 ) ) (k+1)/31 = ( ( 80 ),( 30 ) ) sum_(k) ( ( 50 ),( k-30 ) ) (k+1)/31 $
Però ora non so proprio come continuare. So che i vari addendi della somma sono diversi da 0 per k che va da 31 a 50, ma questo non mi permette di semplificare altro.
Ho provato anche altre vie ma questa mi è sembrata quella che mi ha portato ad un risultato "più semplice".
Ringrazio in anticipo tutti coloro che mi daranno una mano.

[Deckard1]

Nessuno ha qualche idea?

[gugo82]

Si potrebbero fare altri due conti, ma non si arriva a nulla di più bello, mi pare.

[Rggb1]

Tieni presente che

$sum_(k = m)^(n) ((n),(k))*((k),(m))=2^(n-m)*((n),(m))$

[ Ma le avete viste queste forme particolari? ] Però però... sommatoria con tutti i valori, ci devo un po' riflettere

[Deckard1]

"Rggb":Tieni presente che

$sum_(k = m)^(n) ((n),(k))*((k),(m))=2^(n-m)*((n),(m))$

[ Ma le avete viste queste forme particolari? ] Però però... sommatoria con tutti i valori, ci devo un po' riflettere

Questa formula non la conoscevo (sto studiando su Combinatorics and Graph Theory, dove non è menzionata quindi non dovrebbe essere necessaria*), ma ad ogni modo non credo mi possa aiutare perché oltre ai 2 coeff. bin. ho anche $(k+1)$ all'interno della serie che non posso portar fuori.
Che la sommaria sia con tutti i valori di $k$ non è un problema perché gli addendi sono diversi da 0 solo per $30<=k<=80$.

*però ora che mi ci fai pensare è facilmente derivabile a partire da $sum_(k = m)^(n) ((n),(k))*((k),(m))=((n),(m))sum_(k = m)^(n) ((n-m),(k-m))=2^(n-m)*((n),(m))$ quindi la potrei anche usare, ma resta il fatto che non trovo come applicarla.

[gugo82]

"Rggb":Tieni presente che

$sum_(k = m)^(n) ((n),(k))*((k),(m))=2^(n-m)*((n),(m))$

[ Ma le avete viste queste forme particolari? ] Però però... sommatoria con tutti i valori, ci devo un po' riflettere

Questa non la sapevo nemmeno io...

[Rggb1]

"Deckard":ma ad ogni modo non credo mi possa aiutare perché oltre ai 2 coeff. bin. ho anche $(k+1)$ all'interno della serie che non posso portar fuori.

Ma scusa, questa che hai scritto
$sum_(k)((80),(k))*((k+1),(31))=sum_(k)((80),(k))*((k),(30))*(k+1)/31$
a me torna. Quindi ti rimarebbe solo la frazione, no?

Oppure non ho capito fino a dove vuoi calcolare/semplificare...

"Deckard":Che la sommaria sia con tutti i valori di $k$ non è un problema perché...

Vedo (adesso: prima non avevo ancora pranzato )

[Deckard1]

"Rggb":[quote="Deckard"]ma ad ogni modo non credo mi possa aiutare perché oltre ai 2 coeff. bin. ho anche $(k+1)$ all'interno della serie che non posso portar fuori.

Ma scusa, questa che hai scritto
$sum_(k)((80),(k))*((k+1),(31))=sum_(k)((80),(k))*((k),(30))*(k+1)/31$
a me torna. Quindi ti rimarebbe solo la frazione, no?[/quote]
Mmm... non posso portar fuori la frazione: al numeratore c'è il parametro k e quindi non posso usare la tua formula per calcolare la somma.
O ho frainteso qualcosa?

[Rggb1]

Effettivamente mi sono incartato pure io, speravo di riuscire a portar fuori dalla sommatoria i due coefficienti, e invece mi rimane sempre quel cappapiùuno sopra...