Risoluzione dell'equazione matriciale
E’ risolubile nell’anello $M_3(Z_7)$ l’equazione matriciale
$((0,4,6),(5,1,6),(1,6,5))$ $* X =$ $((2,5,1),(2,0,5),(4,2,0)) ?$
Se la risposta è si, quante soluzioni ci sono?
Io avevo pensato di fare l'inversa della prima matrice e il risultato moltiplicarlo per la seconda in modo da avere la $X$ ... ma non so se è corretto
$((0,4,6),(5,1,6),(1,6,5))$ $* X =$ $((2,5,1),(2,0,5),(4,2,0)) ?$
Se la risposta è si, quante soluzioni ci sono?
Io avevo pensato di fare l'inversa della prima matrice e il risultato moltiplicarlo per la seconda in modo da avere la $X$ ... ma non so se è corretto
Risposte
La matrice a sinistra non è invertibile in $\mathbb{Z}_7$, quindi non puoi usare l'inversa.
E' così terribile espandere tutto e risolvere il sistema lineare che viene fuori? (9 equazioni in 9 incognite, ma su $\mathbb{Z}_7$ magari viene facile.
E' così terribile espandere tutto e risolvere il sistema lineare che viene fuori? (9 equazioni in 9 incognite, ma su $\mathbb{Z}_7$ magari viene facile.
"Pappappero":
La matrice a sinistra non è invertibile in $\mathbb{Z}_7$, quindi non puoi usare l'inversa.
E' così terribile espandere tutto e risolvere il sistema lineare che viene fuori? (9 equazioni in 9 incognite, ma su $\mathbb{Z}_7$ magari viene facile.
Scusa ma il determinate di quella a sinistra è diverso da zero quindi dovrebbe essere invertibile. Come si dovrebbe espandere ? è quello che non ho capito, dovrei fare cosi come segue
$((0,4,6|2,5,1),(5,1,6|2,0,5),(1,6,5|4,2,0))$
mettere le due matrici in questo modo e poi fare l'inversa?
Il determinante della matrice a sinistra è $98$ che è $0$ modulo $7$. Quindi non è invertibile.
Io proverei a espandere tutto usando il prodotto di matrici: diciamo che $X$ è una matrice $3 x 3$ con entrate $x_{ij}$ (che sono le nostre 9 incognite). Ogni entrata della matrice a destra ci fornisce un'equazione.
Ad esempio l'entrata $(1,1)$ della matrice a destra ci dice:
$0x_{11} + 4x_{21} + 6 x_{31} = 2$
L'entrata $(2,1)$ ci dice:
$5x_{11} + 1 x_{21} + 6x_{31}= 2$.
E così via per ciascuna delle 9 entrate a destra. La matrice associata a questo sistema è una matrice $9\times$ che è diagonale a blocchi $3 \times 3$.
Ma proviamo a pensarla in modo diverso. Come si ottiene la prima colonna della matrice di destra? Si ottiene moltiplicando la matrice che sta a sinistra per la prima colonna di $X$. In modo simile la seconda colonna della matrice di destra si ottiene moltiplicando la matrice di sinistra per la seconda colonna di $X$. E infine lo stesso discorso vale per la terza colonna.
Quindi quella equazione matriciale è equivalente a tre sistemi lineari. Per sapere se c'è una soluzione, ti basta dunque cercare di capire se ciascuna delle colonne della matrice di destra è contenuta nello span delle colonne della matrice di sinistra. Questo prova che ciascuno dei tre sistemi lineari ha soluzione, e dunque che l'equazione matriciale ha soluzione.
Io proverei a espandere tutto usando il prodotto di matrici: diciamo che $X$ è una matrice $3 x 3$ con entrate $x_{ij}$ (che sono le nostre 9 incognite). Ogni entrata della matrice a destra ci fornisce un'equazione.
Ad esempio l'entrata $(1,1)$ della matrice a destra ci dice:
$0x_{11} + 4x_{21} + 6 x_{31} = 2$
L'entrata $(2,1)$ ci dice:
$5x_{11} + 1 x_{21} + 6x_{31}= 2$.
E così via per ciascuna delle 9 entrate a destra. La matrice associata a questo sistema è una matrice $9\times$ che è diagonale a blocchi $3 \times 3$.
Ma proviamo a pensarla in modo diverso. Come si ottiene la prima colonna della matrice di destra? Si ottiene moltiplicando la matrice che sta a sinistra per la prima colonna di $X$. In modo simile la seconda colonna della matrice di destra si ottiene moltiplicando la matrice di sinistra per la seconda colonna di $X$. E infine lo stesso discorso vale per la terza colonna.
Quindi quella equazione matriciale è equivalente a tre sistemi lineari. Per sapere se c'è una soluzione, ti basta dunque cercare di capire se ciascuna delle colonne della matrice di destra è contenuta nello span delle colonne della matrice di sinistra. Questo prova che ciascuno dei tre sistemi lineari ha soluzione, e dunque che l'equazione matriciale ha soluzione.
Vediamo un pò se ho capito.
Parto da questa matrice:
$((0,4,6|2,5,1),(5,1,6|2,0,5),(1,6,5|4,2,0))$
attraverso delle trasformazioni ,che in ordine sono le seguenti: $T_(13) R_21 (2) M_2 (6) R_12 (1) R_32 (3) $ mi sono trovato l'inversa, cioè:
$((1,0,3|1,5,2),(0,1,5|4,3,2),(0,0,0|0,0,0))$
Posso dire che per 9 incognite ho come soluzioni $7^(9-2)$ Soluzioni. Cioè $7^7$ soluzioni. Che sono
Sistema 1= $\{(x_1 + 3x_3 =1), (x_2+5x_3=4):}$ pongo $X_3 = h in Z_7$
$rArr$ $\{(x_1 =1+4h), (x_2=4+2h):}$
Soluzioni del Sistema 1 = $(1+4h,4+2h,h)$
Cosi via per il Sistema 2 e Sistema 3 ottengo:
Soluzioni Sistema 2 = $(5+4h,3+2h,h)$
Soluzioni Sistema 3 = $(2+4h,2+2h,h)$
Che ne dici come procedimento?
Parto da questa matrice:
$((0,4,6|2,5,1),(5,1,6|2,0,5),(1,6,5|4,2,0))$
attraverso delle trasformazioni ,che in ordine sono le seguenti: $T_(13) R_21 (2) M_2 (6) R_12 (1) R_32 (3) $ mi sono trovato l'inversa, cioè:
$((1,0,3|1,5,2),(0,1,5|4,3,2),(0,0,0|0,0,0))$
Posso dire che per 9 incognite ho come soluzioni $7^(9-2)$ Soluzioni. Cioè $7^7$ soluzioni. Che sono
Sistema 1= $\{(x_1 + 3x_3 =1), (x_2+5x_3=4):}$ pongo $X_3 = h in Z_7$
$rArr$ $\{(x_1 =1+4h), (x_2=4+2h):}$
Soluzioni del Sistema 1 = $(1+4h,4+2h,h)$
Cosi via per il Sistema 2 e Sistema 3 ottengo:
Soluzioni Sistema 2 = $(5+4h,3+2h,h)$
Soluzioni Sistema 3 = $(2+4h,2+2h,h)$
Che ne dici come procedimento?
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