Risolubilità

[lilly201]

Ciao a tutti! Nel mio libro di algebra leggo che per qualsiasi polinomio f di grado 0 Tuttavia in alcuni esempi fatti in classe mi pare che ciò non valga: ad esempio per il polinomio f:$x^5-1$ l'equazione f(x)=0 è risolubile per radicale poichè $Gal(QQ_5//QQ)$ è ciclico e quindi risolubile, oppure per il polinomio f:$x^5-10x^4+27x^3-18x^2+30x+50=(x-5)^2(x^3+2x+2)$ l'equazione f(x)=0 è risolubile per radicali poichè $Gal(x^3+2x+2//QQ)$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_3$ ed è quindi risolubile. Qualcuno mi spiega perchè? Grazie!

[maurer]

Non vedo dove stia la contraddizione. Tu dici: un qualsiasi polinomio di grado minore di 5 è risolubile per radicali. Ma gli esempi che porti sono tutti di grado 5 !

Spiegati meglio: non sei convinta del fatto che ogni polinomio di grado minore di 5 è risolubile, oppure non sei convinta che il polinomio generale di grado [tex]\ge 5[/tex] non sia risolubile?

[lilly201]

Allora i polinomi di grado minore uguale a 4 sono risolubili per radicali, quindi concludo (forse non posso?) chei polinomi di grado maggiore o uguale a 5 non sono risolubili per radicali (T. di Abel-Ruffini). Invece ho due esempi di polinomi di grado maggiore uguale a 5 che sono risolubili per radicali!

[mistake89]

Io credo (ma non sono assolutamente informato per bene di ciò) che quel th affermi che non esiste "sempre", non che non esista "mai"

[lilly201]

A me il teorema di Abel-Ruffini è stato enunciato così:
L'equazione p(x) = 0 per il polinomio generale p di grado $n>= 5$ non è risolubile per radicali.

[maurer]

Appunto! Il polinomio generale, non ogni polinomio...

[lilly201]

e quindi che regola utile è se non vale sempre!

[maurer]

Infatti, non vuole essere una regola utile. Ti sfugge, probabilmente, il fatto che il leit-motiv della teoria di Galois (cioè il motivo per cui è stata sviluppata in origine), era di dimostrare che non si può trovare una formula risolutiva generica per i polinomi di grado superiore al quinto. Chiaramente, per fare questo, basta provare che esiste un singolo polinomio che non ammette radici scritte in forma di radicali.
La teoria di Galois ci mostra che il polinomio generale di grado maggiore o uguale a 5 non è risolubile per radicali. Il polinomio generale di grado maggiore o uguale a 5, però, non è un polinomio "concreto": i suoi coefficienti non sono numeri razionali, ma sono incognite. Un modo molto rapido per concludere che esistono polinomi a coefficienti razionali non risolubili per ogni grado maggiore o uguale a 5, è applicare il Teorema di Irriducibilità di Hilbert, che ha lo svantaggio di non trovarsi in gran parte delle trattazioni. Conosco la costruzione di polinomi non risolubili di grado primo, ma non conosco una costruzione elementare e generale.