[risolto] Sottogruppo normale di un sottogruppo normale

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. Sia G un gruppo, e H e K suoi sottogruppi di cui H incluso in
K; e supponiamo che H sia normale in K e K sia normale in G. Possiamo allora
concludere che H è normale in G? Vorrei rispondere di sì ma non riesco a
dimostrarlo! Grazie per ogni eventuale aiuto.

Rodolfo

[Pappappero1]

In generale non è vero.

Uno degli esempi più facili dovrebbe essere questo. Se $V$ è il gruppo di klein e $\sigma$ un suo elemento non banale (che ha ordine $2$), allora $< \sigma >$ è normale in $V$ (perché $V$ è abeliano) che a sua volta è normale in $S_4$. Tuttavia il ciclico di ordine $2$ generato da $\sigma$ non è normale in $S_4$ (se lo coniughiamo opportunamente otteniamo infatti tutti gli elementi del Klein).

[Rodolfo Medina]

Grazie infinite. Rodolfo