[Risolto] Posso ricondurre a questa determinata forma?

[francescomanfrediwd]

[per Admin: vedendo gli altri tread nella sezione penso che potrei aver sbagliato a postare qui. Nel caso chiedo scusa.]

[approfitto della stessa modifica per aggiungere il problema iniziale (a fondo post) perchè magari ho proprio sbagliato strada.]

Ciao a tutti, mi sto cimentando con le dimostrazioni per induzione, ma ho postato in questa sezione perchè il mio problema è evidentemente relativo all'algebra.

Ho bisogno di sapere se (ma in realtà preferirei sapere COME) posso ricondurre questo:

$1/2 * (1 - \frac{1}{2n + 1}) + \frac{1}{4*(n+1)^2 - 1}$

a questo:

$1/2 * (1 - \frac{1}{2(n+1) + 1})$

Il problema iniziale:

Dimostrare per induzione che la seguente affermazione è valida per $n in NN$ , $n>=1$ :

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{4k^2 -1} = 1/2 * (1- \frac{1}{2n+1})$

Grazie in anticipo.

(btw ho sempre voluto imparare mathML ed ora ho trovato la giusta scusa )

[Sk_Anonymous]

Detta S la somma in questione, si hanno i seguenti passaggi :
$S=1/2{2n}/{2n+1}+1/{[2(n+1)-1][2(n+1)+1]}=n/{2n+1}+1/{(2n+1)(2n+3)}=$
$={n(2n+3)+1}/{(2n+1)(2n+3)}={2n^2+3n+1}/{(2n+1)(2n+3)}={(2n+1)(n+1)}/{(2n+1)(2n+3)}=$
$={n+1}/{2n+3}=1/2{(2n+3)-1}/{2n+3}=1/2 ({2n+3}/{2n+3}-1/{2n+3})=1/2(1-1/{2(n+1)+1})$
C.V.D.

[francescomanfrediwd]

Grazie mille, ora me la rivedrò per bene per capire cosa mi era sfuggito.