[RISOLTO] Oggetti di una categoria di funtori specifica

[agnenga1]

Nella Teoria delle Categorie, cosa significa un'affermazione come questa: Nella categoria di funtori \( \textbf{Grp}^{M} \) ($M$ monoide) gli oggetti sono un gruppo con operatori $M$? Io ho pensato che il funtore per la parte della funzione sugli oggetti, applicata all'oggetto di $M$, darà sicuramente un gruppo, ma quello che non riesco a capire è il significato dell'espressione "con operatori $M$".

[Epimenide93]

Direi che in questo contesto "operatore" è né più né meno che un sinonimo per "endomorfismo". Se ci pensi guardando all'immagine di ciascuno di quei funtori ottieni un sottomonoide del monoide degli endomorfismi del gruppo in cui viene mappato l'oggetto di \(M\) e tale sottomonoide è immagine omomorfa di \(M\) stesso. I morfismi tra due oggetti di \(\mathbf{Grp}^M\), invece, saranno i morfismi di gruppo tra i due gruppi-immagine. Però non sono d'accordo con quanto dici qui:

"agnenga":ho pensato che il funtore per la parte della funzione sugli oggetti, applicata all'oggetto di $M$, darà sicuramente un gruppo

esistono più oggetti di \(\mathbf{Grp}^M\) che mappano l'oggetto di \(M\) nello stesso gruppo. Pensa ad un gruppo con monoide degli endomorfismi non banale. Ora non ho tempo di scrivere meglio, ma se hai dei dubbi appena posso riscrivo tutto per bene.

[agnenga1]

"Epimenide93":Direi che in questo contesto "operatore" è né più né meno che un sinonimo per "endomorfismo". Se ci pensi guardando all'immagine di ciascuno di quei funtori ottieni un sottomonoide del monoide degli endomorfismi del gruppo in cui viene mappato l'oggetto di \(M\) e tale sottomonoide è immagine omomorfa di \(M\) stesso. I morfismi tra due oggetti di \(\mathbf{Grp}^M\), invece, saranno i morfismi di gruppo tra i due gruppi-immagine.

Ti ringrazio molto, era proprio quello che immaginavo anch'io, solo che l'espressione "operatori $M$" a mio parere era un po' ambigua, al che volevo una conferma.

Però non sono d'accordo con quanto dici qui:

"agnenga":ho pensato che il funtore per la parte della funzione sugli oggetti, applicata all'oggetto di $M$, darà sicuramente un gruppo

esistono più oggetti di \(\mathbf{Grp}^M\) che mappano l'oggetto di \(M\) nello stesso gruppo. Pensa ad un gruppo con monoide degli endomorfismi non banale. Ora non ho tempo di scrivere meglio, ma se hai dei dubbi appena posso riscrivo tutto per bene.

Non capisco il perché di questa precisazione: dicendo "il funtore", mi riferivo all'oggetto generico della categoria: esso mapperà l'oggetto di $M$ in un gruppo, e con ciò non mi pare si debba evincere che solo questo funtore mandi in questo certo gruppo.

[Epimenide93]

Ah, ok, avevo frainteso il senso della tua frase. Ora direi che torna tutto.