Riducibilita' polinomio in $ZZ[x]$
Considero il polinomio $x^4-10x^2+1\inZZ[x]$ e ne studio la riducibilita' in $ZZ[x]$.
Non posso applicare Eisenstein perche' il termine noto e' 1, se provo a ridurre il polinomio in $ZZ/(pZZ)$ con $p=2,3$ ottengo polinomi riducibili in $ZZ/(pZZ)$ e questo non mi aiuta...avevo pensato di usare $p=5$ ottenendo il polinomio $x^4+1$ in $ZZ/(5ZZ)$ ma a questo punto non so dire se quest'ultimo e' riducibile o meno, essendo che non ha radici in $ZZ/(5ZZ)$ ma si potrebbe spezzare nel prodotto di due polinomi di secondo grado...come posso proseguire?
Non posso applicare Eisenstein perche' il termine noto e' 1, se provo a ridurre il polinomio in $ZZ/(pZZ)$ con $p=2,3$ ottengo polinomi riducibili in $ZZ/(pZZ)$ e questo non mi aiuta...avevo pensato di usare $p=5$ ottenendo il polinomio $x^4+1$ in $ZZ/(5ZZ)$ ma a questo punto non so dire se quest'ultimo e' riducibile o meno, essendo che non ha radici in $ZZ/(5ZZ)$ ma si potrebbe spezzare nel prodotto di due polinomi di secondo grado...come posso proseguire?
Risposte
Trova le radici complesse del polinomio; salta fuori che sono \( 4 \) radici reali distinte, nessuna delle quali è un numero intero.
"Epimenide93":
Trova le radici complesse del polinomio; salta fuori che sono \( 4 \) radici reali distinte, nessuna delle quali è un numero intero.
Questa affermazione non mi sembra corretta: il polinomio \(p(x)=x^4 - 5x^2 +6\) ha come radici \(\pm \sqrt{2}\) e \(\pm \sqrt{3}\) che non sono numeri interi. Tuttavia \(p(x) = (x^2 - 2)(x^2 -3)\), che è quindi in definitiva riducibile in \(\mathbb{Z}[X]\).
@thedarkhero: secondo me ti tocca fare il conto. O poni \(x^4 - 10x^2 +1=(x^2 + ax +b)(x^2 + cx + d)\) e risolvi il sistema, oppure se \(a,b,c,d\) sono le sue radici, verifichi che nessuno tra \((x-a)(x-b)\), \((x-a)(x-c)\) e \((x-a)(x-d)\) è a coefficienti interi.
Penso che @Epimenide93 intendesse con distinte il fatto che non danno interi se moltiplicate, o, se vuoi, che nessuna è l'inverso additivo dell'altra. Infatti o sono appunto opposti o si combinano tra loro a formare degli interi (in casi con gradi superiori al quarto), altrimenti le soluzioni reali non restituiscono soluzioni intere...
"Frink":
Penso che @Epimenide93 intendesse con distinte il fatto che non danno interi se moltiplicate, o, se vuoi, che nessuna è l'inverso additivo dell'altra. Infatti o sono appunto opposti o si combinano tra loro a formare degli interi (in casi con gradi superiori al quarto), altrimenti le soluzioni reali non restituiscono soluzioni intere...
Grazie per la fiducia, ma in verità avevo preso un granchio gargantuesco
Resta che la tua osservazione è giusta (come si vede anche prendendo il caso generale dei calcoli suggeriti da Delirium): perché esistano scomposizioni a coefficienti interi di grado \( 2 \) si devono avere, dette le radici \( a \), \( b \), \( c \) e \( d \), due radici tali che \( \exists \alpha, \exists \beta \in \{ a, b, c, d \}, \ \alpha \ne \beta \)
\[
\begin{cases}
\alpha + \beta \in \mathbb{Z} \\
\alpha \beta \in \mathbb{Z} \\
\end{cases}
\]
cosa che per radici irrazionali distinte si traduce nel trovarne due opposte; determinate due radici siffatte, (sempre nel caso di quattro radici irrazionali distinte) vale automaticamente altrettanto per le restanti (lo si vede ragionando per casi).
Le 4 radici sono $alpha_(1,2,3,4)=+-sqrt(5+-2sqrt(6))$.
Il polinomio $(x-alpha_1)(x-alpha_2)$ non è mai a coefficienti interi, qualunque sia la scelta delle due radici in questione.
Segue che il polinomio iniziale non si può scomporre nemmeno nel prodotto di due polinomi di secondo grado.
Ringrazio tutti e tre e vi chiedo un'ultima cosa sull'alternativa più "calcolosa":
Se decidessi di fare nell'altro modo, cioè risolvendo il sistema di 4 equazioni, avrei
$\{(a+c=0),(d+ac+b=-10),(ad+bc=0),(bd=1):}$
come faccio a vedere se questo sistema ha soluzioni in $ZZ^4$ (e non ne deve avere, per quanto abbiamo detto sopra)?
Il polinomio $(x-alpha_1)(x-alpha_2)$ non è mai a coefficienti interi, qualunque sia la scelta delle due radici in questione.
Segue che il polinomio iniziale non si può scomporre nemmeno nel prodotto di due polinomi di secondo grado.
Ringrazio tutti e tre e vi chiedo un'ultima cosa sull'alternativa più "calcolosa":
Se decidessi di fare nell'altro modo, cioè risolvendo il sistema di 4 equazioni, avrei
$\{(a+c=0),(d+ac+b=-10),(ad+bc=0),(bd=1):}$
come faccio a vedere se questo sistema ha soluzioni in $ZZ^4$ (e non ne deve avere, per quanto abbiamo detto sopra)?
"thedarkhero":
Ringrazio tutti e tre e vi chiedo un'ultima cosa sull'alternativa più "calcolosa":
Se decidessi di fare nell'altro modo, cioè risolvendo il sistema di 4 equazioni, avrei
$\{(a+c=0),(d+ac+b=-10),(ad+bc=0),(bd=1):}$
come faccio a vedere se questo sistema ha soluzioni in $ZZ^4$ (e non ne deve avere, per quanto abbiamo detto sopra)?
Da \( bd = 1 \) hai \( b = d = -1 \) o \( b = d = 1 \); hai \( a = -c \) quindi da \( d + ac + b = -10 \) hai \( c^2 = 8 \) o \( c^2 = 12 \). Entrambe le possibilità sono incompatibili con \( c \in \mathbb{Z} \).
Ah ok quindi vado un po per casi, ottimo! Grazie ancora 
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