Riducibilità di un polinomio al variare di un parametro
Salve a tutti!
E' il primo post su questo forum e ho letto velocemente il regolamento per evitare i guai, se doveste avere qualche consiglio o critica su questo post vi prego di farmelo notare!
Ho il seguente polinomio:
$ p(x)=x^3+4x^2+ax+2 $
e mi viene chiesto di discuterne la riducibilità in $ Q[x] $ al variare del parametro "a". Ho pensato di usare il criterio di irriducibilità di Eisenstein ma credo proprio che sia l'approccio sbagliato in quanto significherebbe usare l'implicazione al contrario.
Mi spiego meglio, se avessi $a=2$ potrei affermare che il polinomio è irriducibile in $Q[x]$ in quanto ho trovato un numero primo (2) t.c. divide tutti i coefficienti (escluso quello di grado massimo e il termine noto) e il cui quadrato non divide il termine noto.
Ciò però non significa che ogni polinomio irriducibile in $Q[x]$ abbia questa caratteristica, come posso quindi procedere nel caso generale?
Grazie in anticipo.
E' il primo post su questo forum e ho letto velocemente il regolamento per evitare i guai, se doveste avere qualche consiglio o critica su questo post vi prego di farmelo notare!
Ho il seguente polinomio:
$ p(x)=x^3+4x^2+ax+2 $
e mi viene chiesto di discuterne la riducibilità in $ Q[x] $ al variare del parametro "a". Ho pensato di usare il criterio di irriducibilità di Eisenstein ma credo proprio che sia l'approccio sbagliato in quanto significherebbe usare l'implicazione al contrario.
Mi spiego meglio, se avessi $a=2$ potrei affermare che il polinomio è irriducibile in $Q[x]$ in quanto ho trovato un numero primo (2) t.c. divide tutti i coefficienti (escluso quello di grado massimo e il termine noto) e il cui quadrato non divide il termine noto.
Ciò però non significa che ogni polinomio irriducibile in $Q[x]$ abbia questa caratteristica, come posso quindi procedere nel caso generale?
Grazie in anticipo.
Risposte
Immagino che $a$ sia intero.
Questo è un caso facile perché un polinomio di grado $3$ è riducibile se e solo se ha una radice in $QQ$, e come sai questa radice deve essere intera (perché $p(x)$ ha coefficienti interi), sia $r$ una radice di $p(x)$, allora per argomenti standard $r$ divide $p(0)=2$ e concludi facilmente.
Questo è un caso facile perché un polinomio di grado $3$ è riducibile se e solo se ha una radice in $QQ$, e come sai questa radice deve essere intera (perché $p(x)$ ha coefficienti interi), sia $r$ una radice di $p(x)$, allora per argomenti standard $r$ divide $p(0)=2$ e concludi facilmente.
Si scusa, $a$ è intero.
Il fatto è che mi viene chiesto di vedere per quali valori di $a$ il polinomio è riducibile. Ti seguo quando dici che bisogna cercare le radici tra i divisori del termine noto $+-1,+-2$ ma non riesco a capire come poter formalizzare il concetto al variare del parametro $a$ in $ZZ$.
Il fatto è che mi viene chiesto di vedere per quali valori di $a$ il polinomio è riducibile. Ti seguo quando dici che bisogna cercare le radici tra i divisori del termine noto $+-1,+-2$ ma non riesco a capire come poter formalizzare il concetto al variare del parametro $a$ in $ZZ$.
Le quattro condizioni $p(1)=0$, $p(-1)=0$, $p(2)=0$, $p(-2)=0$ ti danno i quattro possibili valori di $a$.
Cavolo vero! Grazie mille 
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