Ricerca omomorfismi
Ragazzi potreste spiegarmi come calcolare tutti gli omomorfismi tra 2 gruppi?
Nel caso specifico tra $A4$ e $T=$?
Ho calcolato i periodi degli elementi di T e so che il nucleo di ogni omomorfismo deve essere sottogruppo normale di $A4$
Adesso, i sottogruppi normali di $A4$ sono ${id}$, $A4$ e $N={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}$
Se $ker=A4$ ovviamente ho l'omomorfismo banale.
Se $ker={id}$ risulta che $A4$ è isomorfo a un sottogruppo di $T$ di ordine 12, quindi a $T$ stesso e questo non è possibile perchè in questo caso devono essere conservati i periodi degli elementi e, se non ho sbagliato i conti, $T$ ha elementi di periodo 4 e 6.
Se $ker=N$, $(A4)/N$ è isomorfo a un sottogruppo di $T$ di ordine 3 e questo è possibile da Lagrange perchè $|T|=12$
Come calcolo però tutti i possibili omomorfismi?
Nel caso specifico tra $A4$ e $T=
Ho calcolato i periodi degli elementi di T e so che il nucleo di ogni omomorfismo deve essere sottogruppo normale di $A4$
Adesso, i sottogruppi normali di $A4$ sono ${id}$, $A4$ e $N={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}$
Se $ker=A4$ ovviamente ho l'omomorfismo banale.
Se $ker={id}$ risulta che $A4$ è isomorfo a un sottogruppo di $T$ di ordine 12, quindi a $T$ stesso e questo non è possibile perchè in questo caso devono essere conservati i periodi degli elementi e, se non ho sbagliato i conti, $T$ ha elementi di periodo 4 e 6.
Se $ker=N$, $(A4)/N$ è isomorfo a un sottogruppo di $T$ di ordine 3 e questo è possibile da Lagrange perchè $|T|=12$
Come calcolo però tutti i possibili omomorfismi?
Risposte
"Dalfi":Non mi pare!
...se non ho sbagliato i conti, $ T $ ha elementi di periodo 4 e 6...
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