Ricerca di un teorema
Ciao a tutti!!
Scusatemi, ma dove posso trovare il teorema che dice che nell'anello delle matrici non
ci sono ideali non banali?oppure basterebbe un teorema simile che mi porti
a questo concetto.
Grazie
!!!
[xdom="Seneca"]Ho spostato in Algebra.[/xdom]
Scusatemi, ma dove posso trovare il teorema che dice che nell'anello delle matrici non
ci sono ideali non banali?oppure basterebbe un teorema simile che mi porti
a questo concetto.
Grazie
!!![xdom="Seneca"]Ho spostato in Algebra.[/xdom]
Risposte
Attenzione: è vero che $M_n(K)$ ha solo ideali bilateri banali, ma per quanto riguarda gli ideali sinistri o destri ne esistono di non banali. Un esempio si ottiene così: considera $A$ non nulla ma singolare: ${XA | X in M_n(K)}$ è ovviamente un ideale sinistro, ma non può essere tutto $M_n(K)$ in quanto se $A$ è singolare lo è anche $XA$ (si vede in tanti modi, per esempio con il teorema di Binet), e chiaramente non può essere ${0}$ perché $A$ stessa vi appartiene, essendo $M_n(K)$ anello unitario.
Prima di procedere facciamo una semplice considerazione: un ideale (sinistro, destro, o bilatero) di $M_n(K)$ è un sottospazio vettoriale: infatti è chiuso per somma (qui non c'è niente da dire) ma pure per moltiplicazione per scalari, in quanto moltiplicare una matrice $M$ per lo scalare $alpha$ è la stessa cosa di moltiplicare $M$ per la matrice $alphaI$ (non a caso le matrici $alpha I$ sono talvolta chiamate matrici scalari).
Supponi adesso che $J$ sia ideale bilatero di $M_n(K)$, con $J != {0}$. Mostreremo che $J$ contiene la base canonica, per cui sarà ovvio che $J$ è tutto l'anello. Prendiamo allora $B in J$ non nulla, e siano $i, j$ due indici tali che la componente $B_{ij} != 0$. Cerchiamo di ottenere $E_{hk}$ da $B$ con opportune moltiplicazioni. Moltiplicando $B$ a sinistra per $E_{hi}$ otteniamo:
$E_{hi}B = ((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (*, larr, B_i, rarr, *), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0))$
(la h-esima riga è la i-esima riga di $B$, tutte la altre sono nulle)
quindi moltiplicando a destra per $E_{jk}$ otteniamo
$((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (*, larr, B_i, rarr, *), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0))E_{jk} = ((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., ..., ..., 0), (0, ..., b_{ij}, ..., 0), (0, ..., ..., ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0)) = b_{ij}E_{hk}$
(elemento $b_{ij}$ in posto h, k)
infine moltiplicando per $b_{ij}^{-1}I$ (indifferente se a destra o a sinistra, ovviamente), otteniamo $E_{hk}$.
Prima di procedere facciamo una semplice considerazione: un ideale (sinistro, destro, o bilatero) di $M_n(K)$ è un sottospazio vettoriale: infatti è chiuso per somma (qui non c'è niente da dire) ma pure per moltiplicazione per scalari, in quanto moltiplicare una matrice $M$ per lo scalare $alpha$ è la stessa cosa di moltiplicare $M$ per la matrice $alphaI$ (non a caso le matrici $alpha I$ sono talvolta chiamate matrici scalari).
Supponi adesso che $J$ sia ideale bilatero di $M_n(K)$, con $J != {0}$. Mostreremo che $J$ contiene la base canonica, per cui sarà ovvio che $J$ è tutto l'anello. Prendiamo allora $B in J$ non nulla, e siano $i, j$ due indici tali che la componente $B_{ij} != 0$. Cerchiamo di ottenere $E_{hk}$ da $B$ con opportune moltiplicazioni. Moltiplicando $B$ a sinistra per $E_{hi}$ otteniamo:
$E_{hi}B = ((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (*, larr, B_i, rarr, *), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0))$
(la h-esima riga è la i-esima riga di $B$, tutte la altre sono nulle)
quindi moltiplicando a destra per $E_{jk}$ otteniamo
$((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (*, larr, B_i, rarr, *), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0))E_{jk} = ((0, ..., 0, ..., 0), (0, ..., ..., ..., 0), (0, ..., b_{ij}, ..., 0), (0, ..., ..., ..., 0), (0, ..., 0, ..., 0)) = b_{ij}E_{hk}$
(elemento $b_{ij}$ in posto h, k)
infine moltiplicando per $b_{ij}^{-1}I$ (indifferente se a destra o a sinistra, ovviamente), otteniamo $E_{hk}$.
Grazie mille!!
Solo un'altra cosa: come si fa a dire che le matrici $E_{h,i}$ e le altre simili,
appartengono all'ideale? perchè è una condizione che dobbiamo rispettare, giusto?
Solo un'altra cosa: come si fa a dire che le matrici $E_{h,i}$ e le altre simili,
appartengono all'ideale? perchè è una condizione che dobbiamo rispettare, giusto?
ah, grazie Seneca !!
!!
L'idea è questa:
Per ogni matrice quadrata $M$ vale: $E_{ih}BE_{kj}=b_{hk}E_{ij}$ ...la spiegazione c'è sopra, so che non è detta molto bene, prova comunque a convincertene.
Quindi se $J$ è un ideale bilatero non nullo, contiene una matrice non nulla $B$, cioè che ha almeno una componente non nulla $b_{hk} != 0$. Poiché $B$ sta nell'ideale, anche $E_{ih}BE_{kj}$ sta nell'ideale, ma questa è proprio la matrice $b_{hk}E_{ij}$. Siccome questa è nell'ideale, anche $(b_{hk}^{-1}I)(b_{hk}E_{ij})$ sta nell'ideale, ed è proprio $E_{ij}$.
Per l'arbitrarietà di i, j si conclude che tutte le $E_{ij}$ stanno in $J$.
Ho scambiato di ruolo gli indici h,k e i,j rispetto al post precedente, mi sembra che così sia più chiaro, spero che ciò non ti crei confusione...
Per ogni matrice quadrata $M$ vale: $E_{ih}BE_{kj}=b_{hk}E_{ij}$ ...la spiegazione c'è sopra, so che non è detta molto bene, prova comunque a convincertene.
Quindi se $J$ è un ideale bilatero non nullo, contiene una matrice non nulla $B$, cioè che ha almeno una componente non nulla $b_{hk} != 0$. Poiché $B$ sta nell'ideale, anche $E_{ih}BE_{kj}$ sta nell'ideale, ma questa è proprio la matrice $b_{hk}E_{ij}$. Siccome questa è nell'ideale, anche $(b_{hk}^{-1}I)(b_{hk}E_{ij})$ sta nell'ideale, ed è proprio $E_{ij}$.
Per l'arbitrarietà di i, j si conclude che tutte le $E_{ij}$ stanno in $J$.
Ho scambiato di ruolo gli indici h,k e i,j rispetto al post precedente, mi sembra che così sia più chiaro, spero che ciò non ti crei confusione...
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