Ricerca di un polinomio minimo

[Stefano_921]

Ciao a tutti (:

Non so come dimostrare che, per $\zeta := \zeta_{52}$ una radice $52$-esima dell'unità, vale

$$ \left[ \mathbb{Q}[\zeta] : \mathbb{Q}[\zeta + \zeta^{25}] \right] = 2 .$$

La mia idea è quella di trovare il polinomio minimo di $\zeta$ su $\mathbb{Q}[\zeta + \zeta^{25}]$, ma non riesco.

Grazie a chiunque riesca ad aiutarmi (:

[Gi81]

Il trucco è notare che $(zeta_{52})^26= -1$ (perché?)
da cui $zeta (zeta+zeta^(25))= zeta^2 +zeta^(26)= zeta^2-1 => zeta^2-zeta(zeta+zeta^(25))-1=0$

Quindi $zeta$ è radice del polinomio $x^2-(zeta+zeta^(25))x-1$, che è a coefficienti in $QQ(zeta+zeta^(25))$.

[Stefano_921]

Grazie mille Gi8 (: (:

sei stato chiarissimo e super gentile! (:

[Gi81]

Prego. Nota che questo risultato si può generalizzare: per ogni $n$ pari si ha
\[
\left[ \mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q} \left( \zeta_n + \zeta_{n}^{\frac{n}{2}-1} \right) \right] = 2
\]
(la dimostrazione è analoga a quella che ho scritto ieri).
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edit (19 marzo): questo vale solo se $n$ è multiplo di $4$. vedi sotto

[Stefano_921]

Wow (:

Davvero utile questo, grazie mille (: (:

[Stickelberger]

@Gi8 la generalizzazione e' soltanto ok quando $n$ e' divisibile per $4$.
Se $n\equiv 2$ mod $4$, i due campi sono uguali.

[Gi81]

"Stickelberger":@Gi8 la generalizzazione e' soltanto ok quando $n$ e' divisibile per $4$.

Sì, hai ragione. Ho corretto.

"Stickelberger":Se $n\equiv 2$ mod $4$, i due campi sono uguali.

Se non sbaglio ciò segue dal fatto che $QQ(zeta_(2k))= QQ(zeta_k)$ per ogni $k$ dispari. Giusto?