Ricerca della radice n esima con le quattro operazioni .
Vorrei sapere come posso calcolare la radice n-esima di un numero tramite l'uso delle cinque operazioni.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
Risposte
benvenut* nel forum.
ti riferisci all'algoritmo per il calcolo della radice quadrata, quello che si studia in seconda media?
perché quello fa uso delle operazioni aritmetiche.
o parli di un metodo euristico, sempre per trovare la radice in maniera approssimata?
oppure cerchi altro?
ti riferisci all'algoritmo per il calcolo della radice quadrata, quello che si studia in seconda media?
perché quello fa uso delle operazioni aritmetiche.
o parli di un metodo euristico, sempre per trovare la radice in maniera approssimata?
oppure cerchi altro?
innanzitutto sto parlando di radice n-esima e non quadrata come facevi riferimento tu nel primo rigo.
E poi si un metodo approssimativo per calcolarlo....certamente con le 5 operazioni si possono ottenere buoni risultati approssimativi.
Cordiali saluti.
E poi si un metodo approssimativo per calcolarlo....certamente con le 5 operazioni si possono ottenere buoni risultati approssimativi.
Cordiali saluti.
"PincoPt":
certamente con le 5 operazioni
Per curiosità, quali sono le 5 operazioni?
Quanto al metodo, basta usare uno dei tanti algoritmi (ad esempio, Newton, ovvero il metodo delle tangenti) per trovare la radice di $x^n - t$. Dove $t>0$ è il numero di cui vuoi trovare la radice (aritmetica) n-esima.
Il metodo di Newton applicato a questa funzione (che è una funzione algebrica) utilizza solo le 4 operazioni (la cosa più "difficile" è trovare, ad ogni passo, l'intersezione fra una retta e l'asse delle $x$).
Le cinque operazioni sono addizione,sottrazione,moltiplicazione,divisione,radice quadrata.
Per scendere nel pratico io ho trovato la radice 13-a di 20 e il risultato mi è venuto 1,2591.Questo l'ho ottenuto provando a moltiplicare per se stesso il numero 1,2591 per 13 volte.E' chiaro che ci sono arrivato per tentativi utilizzando una calcolatrice.Mi sono chiesto come ha fatto chi nel passato ha compilato le tavole numeriche della radice 5à dei numeri.
Ci sarà un metodo piu' diretto ........non da pescatori.
Grazie e cordialità.
Per scendere nel pratico io ho trovato la radice 13-a di 20 e il risultato mi è venuto 1,2591.Questo l'ho ottenuto provando a moltiplicare per se stesso il numero 1,2591 per 13 volte.E' chiaro che ci sono arrivato per tentativi utilizzando una calcolatrice.Mi sono chiesto come ha fatto chi nel passato ha compilato le tavole numeriche della radice 5à dei numeri.
Ci sarà un metodo piu' diretto ........non da pescatori.
Grazie e cordialità.
"PincoPt":
Le cinque operazioni sono addizione,sottrazione,moltiplicazione,divisione,radice quadrata.
Per scendere nel pratico io ho trovato la radice 13-a di 20 e il risultato mi è venuto 1,2591.Questo l'ho ottenuto provando a moltiplicare per se stesso il numero 1,2591 per 13 volte.E' chiaro che ci sono arrivato per tentativi utilizzando una calcolatrice.Mi sono chiesto come ha fatto chi nel passato ha compilato le tavole numeriche della radice 5à dei numeri.
Ci sarà un metodo piu' diretto ........non da pescatori.
Grazie e cordialità.
Puoi utilizzare il metodo di bisezione: è lento, ma è molto intuitivo..
Ovviamente
$1^13 = 1 < 20$
$2^13 > 20$
a questo punto provo con la media aritmetica tra $1$ e $2$, ovvero $1,5$
calcolo $(1,5)^13 > 20$
allora prendo la media aritmetica tra $1$ e $1,5$ e valuto $(1,25)^13$ ...
e così via...
Se applichi il metodo di Newton la convergenza è molto più veloce.
Grazie della conferma perche' è come ho fatto io.
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
"PincoPt":
Ci sarà un metodo piu' diretto ........non da pescatori.
Una volta, quando non esistevano le calcolatrici e anche quando esistevano ma costavano più di uno stipendio medio, si usavano le tavole logaritmiche
$root13(20)$ diventava $anti log (log root13(20))=anti log(1/13 log 20)$, il $ log 20$ si trovava sulle tavole, quindi lo si divideva per 13 ed infine si cercava sempre sulle tavole, l'antilogaritmo del numero ottenuto.
Ma perché ti limiti alle radici quadrate e non le radici normali... Tieni presente che ogni polinomio ciclotomico è risolubile e quindi esiste una formula che usa soltanto le 2 operazioni del campo e l'estrazione di radice per trovare tutte le sue radici... Cioé questo vuol dire che ogni radice dell'unità è esprimibile esattamente come somma e prodotto di radici e numeri razionali...
"vict85":
Ma perché ti limiti alle radici quadrate e non le radici normali... Tieni presente che ogni polinomio ciclotomico è risolubile e quindi esiste una formula che usa soltanto le 2 operazioni del campo e l'estrazione di radice per trovare tutte le sue radici... Cioé questo vuol dire che ogni radice dell'unità è esprimibile esattamente come somma e prodotto di radici e numeri razionali...
Non ci capisco niente...
Perché parli di "radici quadrate" (non ci si è limitati a quelle) e cosa intendi per "radici normali"?
E non capisco cosa ci trovi di tanto sconvolgente nel fatto di riuscire a calcolare radici usando le radici!
"Fioravante Patrone":
[quote="vict85"]Ma perché ti limiti alle radici quadrate e non le radici normali... Tieni presente che ogni polinomio ciclotomico è risolubile e quindi esiste una formula che usa soltanto le 2 operazioni del campo e l'estrazione di radice per trovare tutte le sue radici... Cioé questo vuol dire che ogni radice dell'unità è esprimibile esattamente come somma e prodotto di radici e numeri razionali...
Non ci capisco niente...
Perché parli di "radici quadrate" (non ci si è limitati a quelle) e cosa intendi per "radici normali"?
E non capisco cosa ci trovi di tanto sconvolgente nel fatto di riuscire a calcolare radici usando le radici![/quote]
Mi sono un po' espresso male. Semplicemente pensavo che forse cercava di esprimere le radici dell'unità non in forma trigonometrica/esponenziale ma nelle forme usate in fondo a questa pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell%27unit%C3%A0 ... Non conosco però un algoritmo generale per trovarle...
Tornando al primo detto voglio chiarirmi:- Usando le operazioni e le conoscenze di maatematica della scuola media(fino alle potenze e ai radicali) e non avendo a disposizione ne tavole ne calcolatrice scentifica ecc.,come posso calcolare la radice 7^ di un numero con il solo ausilio di carta e penna?
Tenendo conto dei vincoli che ho imposto penso abbia risposto al mio quesito franced che nuovamente ringrazio unitamente a tutti coloro che mi hanno dedicato un pò di tempo e la loro attenzione.
SALUTONI E ALLE PROSSIME che ho tanto bisogno di AIUTO per le mie curiosità.
Tenendo conto dei vincoli che ho imposto penso abbia risposto al mio quesito franced che nuovamente ringrazio unitamente a tutti coloro che mi hanno dedicato un pò di tempo e la loro attenzione.
SALUTONI E ALLE PROSSIME che ho tanto bisogno di AIUTO per le mie curiosità.
"PincoPt":
Tornando al primo detto voglio chiarirmi:- Usando le operazioni e le conoscenze di maatematica della scuola media(fino alle potenze e ai radicali) e non avendo a disposizione ne tavole ne calcolatrice scentifica ecc.,come posso calcolare la radice 7^ di un numero con il solo ausilio di carta e penna?
Puoi seguire il metodo di Newton (o delle tangenti).
Esempio: calcoliamo la radice settima di $365$:
definisci la funzione
$f(x) = x^7 - 365$
e ti calcoli i seguenti numeri $x_k$ :
$x_0 = 1$
$x_{k+1} = x_k - (f(x_k))/(f'(x_k)) = x_k - ((x_k)^7 - 365)/(7 * (x_k)^6)$
$x_{k+1} = x_k - (f(x_k))/(f'(x_k)) = x_k - ((x_k)^7 - 365)/(7 * (x_k)^6)$[/quote]
Mi sembra che qui si presuppone la conoscnza del calcolo differenziale (derivata) ?
Mi sembra che qui si presuppone la conoscnza del calcolo differenziale (derivata) ?
"PincoPt":
[quote="franced"]$x_{k+1} = x_k - (f(x_k))/(f'(x_k)) = x_k - ((x_k)^7 - 365)/(7 * (x_k)^6)$
Mi sembra che qui si presuppone la conoscnza del calcolo differenziale (derivata) ?[/quote]
Hai chiesto un metodo per calcolare la radice n-esima facendo uso delle operazioni
elementari.
Una volta scritta la formula del metodo di Newton (o delle tangenti), le operazioni sono elementari.
Me lo faresti vedere lo svolgimento...in modo che possa vedere com'è il procedimento, almeno le prossime volte lo posso fare da me.
Grazie e scusa il disturbo...!!
Grazie e scusa il disturbo...!!
"franced":
Puoi seguire il metodo di Newton (o delle tangenti).
Esempio: calcoliamo la radice settima di $365$:
definisci la funzione
$f(x) = x^7 - 365$
e ti calcoli i seguenti numeri $x_k$ :
$x_0 = 1$
$x_{k+1} = x_k - (f(x_k))/(f'(x_k)) = x_k - ((x_k)^7 - 365)/(7 * (x_k)^6)$
E' molto semplice:
$x_0 = 1$
$x_1 = 1 - (1^7 - 365)/(7*1^6) = 53$
e così via...
tieni conto che partendo da $x_0=1$ la convergenza è un po' lenta, ma se parti da $x_0 = 2$
la convergenza è molto veloce.
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