Reticolo modulare <=> è privo di sottoreticoli isomorfi a reticolo pentagonale

[ti2012]

Salve a tutti. Chiedo scusa, studiando i reticoli e in particolare un teorema che afferma che Un reticolo S è modulare se e solo se è privo di sottoreticoli isomorfi al reticolo pentagonale ho difficoltà a capire un passaggio dell'implicazione "<=". Precisamente siamo nell'ipotesi di S reticolo privo di sottoreticoli isomorfi al reticolo pentagonale e supponiamo per assurdo che S non sia modulare. Esistono allora in S degli elementi a,b, c tali che a$<=$c e (a$vv$b)$^^$ c $!=$ a$vv$(b$^^$c). A tal punto il libro afferma che risulta anche che b$^^$c < a$vv$(b$^^$c) e che (a$vv$b)$^^$c < a$vv$b. Perchè risulta ciò b$^^$c < a$vv$(b$^^$c) e (a$vv$b)$^^$c < a$vv$b? Ho preso in considerazione la relazione d'ordine stretto determinata dalla relazione d'ordine che è definita per i reticoli (quella da cui si ha l'insieme ordinato (S,$<=$) associato al reticolo) ma ho avuto enorme difficoltà ad arrivare a dimostrare che b$^^$c < a$vv$(b$^^$c) e (a$vv$b)$^^$c < a$vv$b . Vi prego, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie immensamente

[killing_buddha]

Non è banale? Se definisci \(a\le b\iff a\vee b = b\iff a\land b = a\), allora \(p,q\le p\vee q \) e \(p\land q \le p,q\)...

[ti2012]

Grazie mille. Mi creda, avevo pensato anche a ciò ma l'avevo erroneamente scartato tra i vari ragionamenti, soprattutto perchè mi ha bloccata la dicitura (a$vv$b)$^^$ c $!=$ a$vv$(b$^^$c).. Avendo l'ipotesi (a$vv$b)$^^$ c $!=$ a$vv$(b$^^$c), come risulta che si ha la relazione di ordine stretto b$^^$c < a$vv$(b$^^$c) cioè b$^^$c $!=$ a$vv$(b$^^$c) ? ancora grazie mille