Reticoli distributivi e complementati

[Angieblueyes]

qualcuno potrebbe darmi una spiegazione a prova di bambino per capire quando un reticolo è distributivo o complementato?

Dalla teoria ho appreso qsto:

a and (b or c) = (a and b) or (a and c) per il distibutivo. fino a qui nulla di strano, ma sul reticolo cos'è l'and e cos'è l'or?

a and a' = 0; a or a' = 1 per il complementato. ma come faccio a capire chi è a'?e come trovo lo 0 e l'1 del reticolo?

degli esempi pratici saranno graditissimi.

Grazie in anticipo,

Angie

[killing_buddha]

Dato un qualunque insieme non vuoto, il suo insieme potenza si atteggia a reticolo (distributivo e complementato) con le operazioni di unione, intersezione e complementazione. L'AND e l'OR (notazione da informatici che accetto ma che condivido poco) sono esattamente quelle due operazioni, idempotenti e involutorie tali che [un certo numero di proprietà].

[gugo82]

"Angieblueyes":qualcuno potrebbe darmi una spiegazione a prova di bambino per capire quando un reticolo è distributivo o complementato?

Dalla teoria ho appreso qsto:

a and (b or c) = (a and b) or (a and c) per il distibutivo. fino a qui nulla di strano, ma sul reticolo cos'è l'and e cos'è l'or?

a and a' = 0; a or a' = 1 per il complementato. ma come faccio a capire chi è a'?e come trovo lo 0 e l'1 del reticolo?

Di solito, come diceva chi è intervenuto prima di me, AND e OR sono termini da informatici... La notazione matematica corrente più usata per le due operazioni reticolari è $wedge$ (AND) e $vv$ (OR), che sono "deformazioni" dei simboli di intersezione ed unione.

Come esempio di reticolo distributivo complementato puoi prendere, se $X!=\emptyset$, l'insieme $P(X)$ dotato delle due operazioni $cap$ e $cup$. Che $(P(X),cap,cup)$ sia un reticolo distributivo è banale (basta ricordare le proprietà di intersezione ed unione); gli elementi $0_(P(X))=\emptyset$ e $1_(P(X))=X$ sono lo zero e l'unità di $P(X)$; fissato $A\in P(X)$ l'insieme $A'=X\setminus A$ gode della proprietà $A\cap A'=\emptyset$ ed $A cup A'=X$, quindi $P(X)$ è complementato.

Un esempio meno banale è il seguente. Prendi $X!=\emptyset$ e poni $R:=[0,1]^X$ (insieme delle applicazioni di $X$ in $[0,1]$); in $R$ si possono definire due operazioni come segue: $AA f,g\in R$,

$f wedge g:X\to [0,1]$ che assegna $(f wedge g)(x)=min \{ f(x),g(x)\}$

$f vv g:X\to [0,1]$ che assegna $(f vv g)(x)=max \{ f(x),g(x)\}$

e si prova che la struttura $(R,wedge,vv)$ è un reticolo distributivo con $0_R=" applicazione nulla"$ e $1_R=" applicazione identicamente uguale a "1$.
Il reticolo $R$ in generale non è complementato: infatti scelto $X=[0,1]$ e considerata:

$f:[0,1]to [0,1], \quad f(x):=x$,

supponendo che esista $f'\in [0,1]^([0,1])$ tale che $fwedgef'=0_R$ ed $fvvf'=1_R$ arriviamo ad un assurdo: scelto $x=1/2 \in [0,1]$, si ha $f(x)=1/2$, $(f wedge f')(1/2)=min \{ 1/2, f'(x)\}$ e $(f vv f')(1/2)=max \{ 1/2, f'(x)\}$ cosicché:

$(f wedge f')(1/2)=0 => f'(1/2)=0 => (f vv f')(1/2)=1/2!=1$ contro il fatto che $(f vv f')(1/2)=1$

oppure:

$(f vv f')(1/2)=1 => f'(1/2)=1 => (f wedge f')(1/2)=1/2!=0$ contro il fatto che $(f wedge f')(1/2)=0$.
Quindi $R$ non è complementato.