Relazioni tra l'aritmetica e le strutture

[Pierlu11]

Ciao a tutti, è un po' che ci penso ma non riesco a trovare una soluzioni alle seguenti due domande...

1) C'è un legame tra l'aritmetica e la teoria delle strutture algebriche? Ad esempio so che l'equazione $ n+2=4 $ ha soluzioni ma non riesco a giustificarlo tenendo conto della struttura di monoide che ha $ (NN,+) $ ...
2) $ RR $ è un campo ma mi sembra impossibile parlare di primi, fattorizzazione unica, divisione euclidea tra numeri reali...

[killing_buddha]

1) Uno puo' certamente vedere la necessita' di estendere strutture algebriche (da semigruppi a monoidi, da monoidi a monoidi cancellativi, da monoidi cancellativi a gruppi, da anelli a campi) come la necessita' di dare soluzione a determinate equazioni: non per nulla un campo e' una struttura dove "l'equazione \(ax+b\) ha sempre soluzione".

2) I primi di un anello sono in corrispondenza con certi ideali, che sono esattamente gli ideali primi di quell'anello. Ora capisci bene che in un campo, che non ha ideali non banali...

[Pierlu11]

Per quanto riguarda la 2) credo di aver capito che ogni numero è primo ma rimane il dubbio della divisione euclidea...

Con la prima domanda invece intendevo dire che, rimanendo in $ (NN,+) $ l'equazione è palesemente soddisfatta da $ n=2 $ ma non ho strumenti per dire che questa esiste ed è proprio $ 2 $ ...

[killing_buddha]

Si' invece che ce li hai: \(\mathbb N\) e' un monoide cancellativo, dunque l'equazione $n+2=2+2$ ha soluzione per un unico $n$.

La divisione euclidea tra numeri reali (ma ancor prima, tra razionali, e ancor prima in un campo euclideo) credo sia sempre esatta, ossia dia resto zero.