Relazioni simmetriche antisimmetriche dubbi su definizione
Buongiorno a tutti, ho un dubbio che non riesco a colmare 
.
L'altro giorno in aula abbiamo inizato le relazioni, in particolare abbiamo definito le relazioni simmetriche e antisimmetriche.
Simmetrica $ \forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \ b R a$
Antisimmetrica $ \forall a, b \in X,\ a R b \wedge \ b R a \; \Rightarrow \ \b=a$
Quindi mi sono chiesto, se una relazione è antisimmetrica, deve essere necessariamente anche simmetrica perchè a e b sono in relazione, ma mi è stato detto di no
Perchè?
.L'altro giorno in aula abbiamo inizato le relazioni, in particolare abbiamo definito le relazioni simmetriche e antisimmetriche.
Simmetrica $ \forall a, b \in X,\ a R b \; \Rightarrow \ b R a$
Antisimmetrica $ \forall a, b \in X,\ a R b \wedge \ b R a \; \Rightarrow \ \b=a$
Quindi mi sono chiesto, se una relazione è antisimmetrica, deve essere necessariamente anche simmetrica perchè a e b sono in relazione, ma mi è stato detto di no
Perchè?
Risposte
La domanda sorge spontanea: per quale motivo pensi che una relazione antisimmetrica debba necessariamente essere simmetrica?
Un controesempio: \((\mathbb{R}, \leq)\).
Se \(a \leq b\) e \(b \leq a\) allora \(a = b\), ma di certo questa relazione non è simmetrica; infatti \(2 \leq 3\) ma \(3 \not \leq 2\).
Di più, se \(\sim\) è una relazione simmetrica e antisimmetrica hai che:
\(a \sim b \Rightarrow b \sim a\)
\(a \sim b \wedge b \sim a \Rightarrow a = b\)
da cui
\(a \sim b \Rightarrow a \sim b \wedge b \sim a \Rightarrow a = b\)
Un controesempio: \((\mathbb{R}, \leq)\).
Se \(a \leq b\) e \(b \leq a\) allora \(a = b\), ma di certo questa relazione non è simmetrica; infatti \(2 \leq 3\) ma \(3 \not \leq 2\).
Di più, se \(\sim\) è una relazione simmetrica e antisimmetrica hai che:
\(a \sim b \Rightarrow b \sim a\)
\(a \sim b \wedge b \sim a \Rightarrow a = b\)
da cui
\(a \sim b \Rightarrow a \sim b \wedge b \sim a \Rightarrow a = b\)
Il problema è nella semamtica dell'end e dell'implicazione.
La simmetria ti dice che se vale $ aRb $ allora vale sempre $ bRa $
L'antisimmetria invece dice che se valgono contemporaneamente $ aRb $ e $ bRa $ allora $ a = b $
Questo implica che se vale l'antisimmetria, ci potrebbero essere casi in cui vale $ aRb $ ma non vale $ bRa $, memtre nella simmetria $ bRa $ vale sempre se $ aRb $
La simmetria ti dice che se vale $ aRb $ allora vale sempre $ bRa $
L'antisimmetria invece dice che se valgono contemporaneamente $ aRb $ e $ bRa $ allora $ a = b $
Questo implica che se vale l'antisimmetria, ci potrebbero essere casi in cui vale $ aRb $ ma non vale $ bRa $, memtre nella simmetria $ bRa $ vale sempre se $ aRb $
capito, in ogni caso può capitare che sia simmetrica e antisimmetrica contemporaneamente, giusto?
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