Relazioni ricorsive

[Zeldic]

Ciao! Sto avendo difficoltà nello svolgimento di alcuni esercizi che riguardano le relazioni ricorsive, come questo ad esempio :

"Verificare che la formula chiusa di $ {(a_n = 1),(a_n = a_n_-1 + (2*n + 1)):} AA n >= 0 $ - Condizione iniziale -

è $ a_n = (n + 1)! AA n >= 0 $ ."


Ecco il mio svolgimento; alla fine non ottengo il risultato sperato, anche perché non so gestire il fattoriale :

Comincio a scrivere i primi termini della sequenza :

$ a_0 = 1 $ $ a_1 = 4 $ $ a_2 = 9 $ $ a_3 = 16 $ $ a_4 = 25 $ . . . .

Intuizione :
Si presuppone che sia :

$ a_n = ( n+1 )! $ $ AA n >= 0 $ .

Verifico che ciò è vero :
Principio d'Induzione :
I) Passo Base :

$ a_0 = ( 0+1 )! = 1! = 1 $ . V (E' verificata.)

II) Passo Induttivo :

$ AA n >= 0 $ $ a_n = ( n+1 )! rarr a_n_+_1 = ( n+1 )! + 1 . $ ( larr Risultato atteso).

Supponiamo vera $ a_n = ( n+1 )! $ (Ipotesi Induttiva).

$ a_n_+_1 = a_n + ( 2 * n + 1 ) = ( n+1 )! + 2 * n + 1 = $ ???

E' corretto sino ad ora? Come posso andare avanti e dimostrare il passo induttivo se lì c'è $ ( n+1 )! $ ?? Per favore, aiutatemi!!

[Zeldic]

Non riesco a scrivere le formule, scusate admin, se potete aiutarmi.. Il regolamento l'ho letto tutto!

[garnak.olegovitc1]

Salve Zeldic,
forse volevi scrivere questo, dimmi se ho sbagliato:

"Zeldic":Ciao! Sto avendo difficoltà nello svolgimento di alcuni esercizi che riguardano le relazioni ricorsive, come questo ad esempio :

"Verificare che la formula chiusa di $\{(a_n = 1),(a_n = a_[n-1] + (2*n + 1)):}$ $AA n >= 0 $ - Condizione iniziale -

è $ a_n = (n + 1)!$ $AA n >= 0 $ ."


Ecco il mio svolgimento; alla fine non ottengo il risultato sperato, anche perché non so gestire il fattoriale :

Comincio a scrivere i primi termini della sequenza :

$ a_0 = 1 $ $ a_1 = 4 $ $ a_2 = 9 $ $ a_3 = 16 $ $ a_4 = 25 $ . . . .

Intuizione :
Si presuppone che sia :

$ a_n = ( n+1 )! $ $ AA n >= 0 $ .

Verifico che ciò è vero :
Principio d'Induzione :
I) Passo Base :

$ a_0 = ( 0+1 )! = 1! = 1 $ . V (E' verificata.)

II) Passo Induttivo :

$ AA n >= 0 $ $ a_n = ( n+1 )! rarr a_[n+1] = ( n+1 )! + 1 $ ( larr Risultato atteso).

Supponiamo vera $ a_n = ( n+1 )! $ (Ipotesi Induttiva).

$ a_[n+1] = a_n + ( 2 * n + 1 ) = ( n+1 )! + 2 * n + 1 = $ ???

E' corretto sino ad ora? Come posso andare avanti e dimostrare il passo induttivo se lì c'è $ ( n+1 )! $ ?? Per favore, aiutatemi!!

Cordiali saluti

[Zeldic]

Sì, grazie, garnak.olegovitc!! Era esattamente quello che volevo dire, a parte solo il "larr" che era la freccia al contrario <--!! Spero qualcuno ora mi possa aiutare!

[garnak.olegovitc1]

Salve Zeldic,
cioè così:

"Zeldic":Ciao! Sto avendo difficoltà nello svolgimento di alcuni esercizi che riguardano le relazioni ricorsive, come questo ad esempio :

"Verificare che la formula chiusa di $\{(a_n = 1),(a_n = a_[n-1] + (2*n + 1)):}$ $AA n >= 0 $ - Condizione iniziale -

è $ a_n = (n + 1)!$ $AA n >= 0 $ ."


Ecco il mio svolgimento; alla fine non ottengo il risultato sperato, anche perché non so gestire il fattoriale :

Comincio a scrivere i primi termini della sequenza :

$ a_0 = 1 $ $ a_1 = 4 $ $ a_2 = 9 $ $ a_3 = 16 $ $ a_4 = 25 $ . . . .

Intuizione :
Si presuppone che sia :

$ a_n = ( n+1 )! $ $ AA n >= 0 $ .

Verifico che ciò è vero :
Principio d'Induzione :
I) Passo Base :

$ a_0 = ( 0+1 )! = 1! = 1 $ . V (E' verificata.)

II) Passo Induttivo :

$ AA n >= 0 $ $ a_n = ( n+1 )! rarr a_[n+1] = ( n+1 )! + 1 $ ( $larr$ Risultato atteso).

Supponiamo vera $ a_n = ( n+1 )! $ (Ipotesi Induttiva).

$ a_[n+1] = a_n + ( 2 * n + 1 ) = ( n+1 )! + 2 * n + 1 = $ ???

E' corretto sino ad ora? Come posso andare avanti e dimostrare il passo induttivo se lì c'è $ ( n+1 )! $ ?? Per favore, aiutatemi!!

Cordiali saluti

[theras]

Ciao!
Se ho capito bene vuoi dimostrare che ${(a_0=1),(a_n=a_(n-1)+(2*n+1)text{ }AAninNN-{0}):}rArra_n=(n+1)!$ $AAninNN$;
in tal caso c'è un errore,
che tra l'altro è intuibile proprio grazie allo sviluppo dei primi membri della tua successione definita per ricorsione:
dopo il verso d'implicazione andrebbe infatti messo $a_n=(n+1)^2$ $AAninNN$,
che è abbastanza comoda da verificare per induzione con alcuni passaggi algebrici..
Chiedo anticipatamente venia per eventuali fraintendimenti e castronerie:
saluti dal web.

[Zeldic]

"theras":

dopo il verso d'implicazione andrebbe infatti messo $a_n=(n+1)^2$ $AAninNN$,
che è abbastanza comoda da verificare per induzione con alcuni passaggi algebrici..

Se presuppongo però che $ a_n = (n + 1)^{2} $ , con dei passaggi passaggi algebrici vado a dimostrare che è vero anche il passo induttivo per cui calcolo :
$ a_(n + 1) = a_n + (2 * n + 1 + 1) = (n + 1)^{2} + 2 * n + 2 = n^{2} + 2 * n + 1 + 2 * n + 2 = n^{2} + 4 * n + 3 = ?? $
Non capisco perché quel 3, dove sbaglio? Dovrei ottenere un 4 per poter finalmente dimostrare che $ a_(n + 1) = (n + 1 + 1)^{2} = (n + 2)^{2} $ , riconducendolo al quadrato di un binomio..

[theras]

"Zeldic":
Se presuppongo però che $ a_n = (n + 1)^{2} $ , con dei passaggi passaggi algebrici vado a dimostrare che è vero anche il passo induttivo per cui calcolo :
$ a_(n + 1) = a_n + (2 * n + 1 + 1) = (n + 1)^{2} + 2 * n + 2 = n^{2} + 2 * n + 1 + 2 * n + 2 = n^{2} + 4 * n + 3 = ?? $
Non capisco perché quel 3, dove sbaglio? Dovrei ottenere un 4 per poter finalmente dimostrare che $ a_(n + 1) = (n + 1 + 1)^{2} = (n + 2)^{2} $ , riconducendolo al quadrato di un binomio..

Ciao!
Direi piuttosto che $a_(n +1)=a_n+[2 *(n +1)+1]=cdots$:
saluti dal web.

[Zeldic]

Sì, vero.. Grazie, theras!