Relazioni minimali in un gruppo.
Mi ponevo la seguente domanda, é sempre possibile trovare in un gruppo finito delle relazioni minimali che mi permettano di ottenere la mappatura di quel gruppo?
La mia opinione é no, ma non ne sono del tutto certo, anche se per gruppi come quello dei quaternioni ho visto essere vero.
Inoltre per il gruppo $S_4$, esistono delle relazioni minimali da cui posso dedurre la mappatura del gruppo?
La mia opinione é no, ma non ne sono del tutto certo, anche se per gruppi come quello dei quaternioni ho visto essere vero.
Inoltre per il gruppo $S_4$, esistono delle relazioni minimali da cui posso dedurre la mappatura del gruppo?
Risposte
Non si capisce bene quello che vuoi dire (in particolare non è chiaro cosa intendi con "relazioni minimali" e "mappatura"). Risponderò seguendo l'unica interpretazione che riesco a dare.
Certo che esiste sempre un insieme minimale di relazioni. Basta prendere un insieme di relazioni di cardinalità minima.
Certo che esiste sempre un insieme minimale di relazioni. Basta prendere un insieme di relazioni di cardinalità minima.
"Martino":
Non si capisce bene quello che vuoi dire (in particolare non è chiaro cosa intendi con "relazioni minimali" e "mappatura"). Risponderò seguendo l'unica interpretazione che riesco a dare.
Certo che esiste sempre un insieme minimale di relazioni. Basta prendere un insieme di relazioni di cardinalità minima.
Io non penso che sia così banale che un insieme di relazioni minimali esista sempre. D'altra parte non tutti i gruppi hanno un insieme di generatori minimale (ovviamente nel caso di gruppi infiniti). Personalmente penso che molti gruppi non finitamente relazionati possano non avere insiemi di relazioni minimali seppur ovviamente ne esistano di cardinalità minima (se elimini un numero finito di elementi da un insieme infinito la cardinalità dell'insieme non cambia).Nel caso finito ovviamente le cose sono banali: esiste sempre un insieme di generatori minimo e un insieme di relazioni minimo per quell'insieme di generatori.
Certo, ma francicko ha scritto "gruppo finito":
Oppure non ho proprio capito quale sia il problema. Forse per "minimale" non si sottintende necessariamente "finito"?
"francicko":In ogni caso anche il caso infinito non mi sembra particolarmente profondo: se un gruppo è finitamente presentato allora esiste sempre un insieme minimale di relazioni associato a un fissato insieme di generatori. Se ne esiste uno allora ne esiste uno minimale, basta calare di cardinalità. Insomma, non mi sembra che l'esistenza di insiemi minimali di relazioni sia un problema, semmai il problema è decidere se effettivamente il gruppo dato ammette un insieme finito di generatori + relazioni.
Mi ponevo la seguente domanda, é sempre possibile trovare in un gruppo finito delle relazioni minimali che mi permettano di ottenere la mappatura di quel gruppo?
Oppure non ho proprio capito quale sia il problema. Forse per "minimale" non si sottintende necessariamente "finito"?
Detto comunque in termini piuttosto base.
Un insieme di generatori è minimale se non contiene sottoinsiemi di generatori. Un insieme di generatori è minimo se è minimale e non esistono insiemi di generatori minimali di cardinalità inferiore. Se l'insieme è finito l'esistenza di qualche insieme di cardinalità minima deriva da semplici considerazioni insiemistiche.
Per le relazioni è analogo nel senso che devi trovare un insieme di generatori di un sottogruppo di un gruppo libero (a dire il vero devi trovare un sottoinsieme tale che la normalizzazione del sottogruppo che generano è quello voluto). Se il gruppo è finitamento presentato allora il minimo esiste sempre (ogni gruppo finito è finitamente presentato)*.
* Questo fatto deriva dal fatto che se noi poniamo come insieme di generatori tutti gli elementi del gruppo e come relazioni quelle date dalla tabella dei prodotti allora abbiamo una presentazione finita del gruppo.
Un insieme di generatori è minimale se non contiene sottoinsiemi di generatori. Un insieme di generatori è minimo se è minimale e non esistono insiemi di generatori minimali di cardinalità inferiore. Se l'insieme è finito l'esistenza di qualche insieme di cardinalità minima deriva da semplici considerazioni insiemistiche.
Per le relazioni è analogo nel senso che devi trovare un insieme di generatori di un sottogruppo di un gruppo libero (a dire il vero devi trovare un sottoinsieme tale che la normalizzazione del sottogruppo che generano è quello voluto). Se il gruppo è finitamento presentato allora il minimo esiste sempre (ogni gruppo finito è finitamente presentato)*.
* Questo fatto deriva dal fatto che se noi poniamo come insieme di generatori tutti gli elementi del gruppo e come relazioni quelle date dalla tabella dei prodotti allora abbiamo una presentazione finita del gruppo.
"Martino":In ogni caso anche il caso infinito non mi sembra particolarmente profondo: se un gruppo è finitamente presentato allora esiste sempre un insieme minimale di relazioni associato a un fissato insieme di generatori. Se ne esiste uno allora ne esiste uno minimale, basta calare di cardinalità. Insomma, non mi sembra che l'esistenza di insiemi minimali di relazioni sia un problema, semmai il problema è decidere se effettivamente il gruppo dato ammette un insieme finito di generatori + relazioni.
Certo, ma francicko ha scritto "gruppo finito":[quote="francicko"]Mi ponevo la seguente domanda, é sempre possibile trovare in un gruppo finito delle relazioni minimali che mi permettano di ottenere la mappatura di quel gruppo?
Oppure non ho proprio capito quale sia il problema. Forse per "minimale" non si sottintende necessariamente "finito"?[/quote]
Non avevo notato l'aggettivo finito di fianco a gruppo. Esistono comunque gruppi che sono finitamente generati ma non finitamente presentati. Non so quanto la ricerca su questi argomenti sia attiva ora ma si possono trovare molti risultati a riguardo.
"francicko":
Mi ponevo la seguente domanda, é sempre possibile trovare in un gruppo finito delle relazioni minimali che mi permettano di ottenere la mappatura di quel gruppo?
La mia opinione é no, ma non ne sono del tutto certo, anche se per gruppi come quello dei quaternioni ho visto essere vero.
Inoltre per il gruppo $S_4$, esistono delle relazioni minimali da cui posso dedurre la mappatura del gruppo?
Attenzione, non ha senso parlare di relazioni senza parlare anche di insiemi di generatori: le relazioni dipendono dall'insieme di generatori scelto.
Vict85 ha scritto: le relazioni dipendono dall'insieme di generatori scelti. Condivido pienamente!
[xdom="Martino"]francicko, quello che stai facendo rasenta il crossposting. Se vuoi continuare a parlare degli automorfismi dei quaternioni per favore fallo qui. Non costringermi a chiuderti i filoni che apri. Grazie.[/xdom]
Penso che tu ti stia facendo più problemi del necessario. Prova a leggerti la teoria delle presentazioni su qualche manuale.
xMartino. Chiedo scusa non volevo violare le regole,ho provveduto alla cancellazione e sposto la discussione come tu mi hai indicato!
xVict85 proverò a consultare l'argomento presentazione di un gruppo come tu mi hai suggerito!
Saluti!
xVict85 proverò a consultare l'argomento presentazione di un gruppo come tu mi hai suggerito!
Saluti!
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