Relazioni - esercizio
Sia $NN_o$ l'insieme dei numeri naturali positivi e $xRy <=> EEn in NN_o | y=nx$
dimostrare che la relazione e' riflessiva, transitiva e antisimmetrica.
Intanto vorrei capire... ma i numeri naturali, per definizioni, sono solo positivi, quindi non capisco il fatto di specificarlo, al meno che la notazione $NN_o$ indichi qualcosa che non so...
Poi per la risoluzione dell'esercizio ho pensato che dovevo considerare la relazione come $n=y/x$ e supponendo $n>1$ la relazione sarebbe transitiva, antisimmetrica ma non riflessiva, mentre per $n=1$ la relazione sarebbe riflessiva, transitiva e simmetrica, quindi non sarebbe antisimmetrica.... Dove sbaglio??
dimostrare che la relazione e' riflessiva, transitiva e antisimmetrica.
Intanto vorrei capire... ma i numeri naturali, per definizioni, sono solo positivi, quindi non capisco il fatto di specificarlo, al meno che la notazione $NN_o$ indichi qualcosa che non so...
Poi per la risoluzione dell'esercizio ho pensato che dovevo considerare la relazione come $n=y/x$ e supponendo $n>1$ la relazione sarebbe transitiva, antisimmetrica ma non riflessiva, mentre per $n=1$ la relazione sarebbe riflessiva, transitiva e simmetrica, quindi non sarebbe antisimmetrica.... Dove sbaglio??
Risposte
il primo è solo una notazione per distinguere ${0,1,2,3,...n}$ da ${1,2,3,...,n}$
lasciala come $y=nx$
il prodotto fra $x$ e $y$ interi positivi è sempre possibile, la divisione no.
$x$ è in relazione con $y$ se e solo se esiste un numero intero $n$ positivo per cui $y$ è ugule al prodotto tra $n$ e $x$.
$xRx$ poiche esiste un numero intero positivo tale che $x=nx$ , $n=1$;
Se $xRy$ hai che $x=n_(1) y$, $y=n_(1) x$ che è verificata solo $n_(1)=1$ e quindi hai che $xRy$ e $yRx$ se $x=y$
se $xRy$ e $yRz$ hai $x=n_(2) y$ , $y= n_(3) z$ , $x=n_(2)*n_(3)*z$ e abbiamo che $x=n_(4)*z$ dove $n_(4)= n_(2)*n_(3)$
Spero nella fretta di non aver scritto qualche fesseria
lasciala come $y=nx$
il prodotto fra $x$ e $y$ interi positivi è sempre possibile, la divisione no.
$x$ è in relazione con $y$ se e solo se esiste un numero intero $n$ positivo per cui $y$ è ugule al prodotto tra $n$ e $x$.
$xRx$ poiche esiste un numero intero positivo tale che $x=nx$ , $n=1$;
Se $xRy$ hai che $x=n_(1) y$, $y=n_(1) x$ che è verificata solo $n_(1)=1$ e quindi hai che $xRy$ e $yRx$ se $x=y$
se $xRy$ e $yRz$ hai $x=n_(2) y$ , $y= n_(3) z$ , $x=n_(2)*n_(3)*z$ e abbiamo che $x=n_(4)*z$ dove $n_(4)= n_(2)*n_(3)$
Spero nella fretta di non aver scritto qualche fesseria
Vediamo di capire.
In questo caso, la relazione e' riflessiva per ogni valore di $x$? Perche' in tal caso allora e' riflessiva, ma, come giustamente scrivi, solo per $n=1$
Invece per quanto riguarda la proprieta' di antisimmetria e' verificata per coppie di $(x,y)$ in cui $x=y$ e quindi $n=1$, mentre la relazione non e' simmetrica
perche' supponendo $n=2$ avrei un caso in cui $x=ny; x=2*1=2; x=2*2=4$ oppure $y=nx; y=2*1=2; y=2*2=4$, quindi la coppia $(x,y)=(2,1)$ e' uguale alla
coppia $(y,x)=(2,1)$ per cui non sono simmetriche.
Ok per la proprieta' transitiva
In questo caso, la relazione e' riflessiva per ogni valore di $x$? Perche' in tal caso allora e' riflessiva, ma, come giustamente scrivi, solo per $n=1$
Invece per quanto riguarda la proprieta' di antisimmetria e' verificata per coppie di $(x,y)$ in cui $x=y$ e quindi $n=1$, mentre la relazione non e' simmetrica
perche' supponendo $n=2$ avrei un caso in cui $x=ny; x=2*1=2; x=2*2=4$ oppure $y=nx; y=2*1=2; y=2*2=4$, quindi la coppia $(x,y)=(2,1)$ e' uguale alla
coppia $(y,x)=(2,1)$ per cui non sono simmetriche.
Ok per la proprieta' transitiva
Altro esercizio, simile al precedente:
determinare quale proprieta' la relazione $xRy <=> x-y=7k$ per un qualche $k in ZZ$, soddisfa tra la proprieta' riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica e totale
Per la Relativa avrei che $xRx$ quindi $x-x=7k$ che e' verificata solo per $k=0$
Per la Simmetrica avrei che $xRy => yRx$ che e' verificata solo per $k=0$ e per $x=y$, infatti verrebbe $x-y=0$ e $y-x=0$ (e questo porta la relazione ad essere anche Antisimmetrica)
Per la proprieta' Transitiva avrei che $xRy ^^ yRz => xRz$ che e' verificata anch'essa solo per $k=0$ (vedi come per la proprieta' Simmetrica)
La proprieta' Totale sarebbe $xRy v yRx$ verificata anch'essa solo per $k=0$ (vedi come per la proprieta' Simmetrica)
E' corretto il ragionamento, visto che il problema indica che la relazione e' verificata per qualche $k in ZZ$, e quindi presumo non per tutti i valori di $ZZ$?
determinare quale proprieta' la relazione $xRy <=> x-y=7k$ per un qualche $k in ZZ$, soddisfa tra la proprieta' riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica e totale
Per la Relativa avrei che $xRx$ quindi $x-x=7k$ che e' verificata solo per $k=0$
Per la Simmetrica avrei che $xRy => yRx$ che e' verificata solo per $k=0$ e per $x=y$, infatti verrebbe $x-y=0$ e $y-x=0$ (e questo porta la relazione ad essere anche Antisimmetrica)
Per la proprieta' Transitiva avrei che $xRy ^^ yRz => xRz$ che e' verificata anch'essa solo per $k=0$ (vedi come per la proprieta' Simmetrica)
La proprieta' Totale sarebbe $xRy v yRx$ verificata anch'essa solo per $k=0$ (vedi come per la proprieta' Simmetrica)
E' corretto il ragionamento, visto che il problema indica che la relazione e' verificata per qualche $k in ZZ$, e quindi presumo non per tutti i valori di $ZZ$?
In questo esercizio sono proprio disorientato.... viene sempre richiesto di determinare quale tra le proprieta' Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica, Transistiva e Totale della
relazione $xRy <=> MCD(x,y)=1$ per $x,y in ZZ$
La risposta del libro e' che la relazione e' solo simmetrica.
Io sono partito dall'assunto che se il massimo comune divisore di due numeri e' sempre uguale a $1$ allora i due numeri sono primi o coprimi tra loro.
Nel caso delle proprieta' riflessiva la relazione sarebbe espressa da $MCD(x,x)=1$, che, qualsiasi valore (come numero primo) assegnato alla $x$ verificherebbe la relazione, quindi non capisco perche' invece non e' riflessiva.
Stessa cosa per tutte le altre proprieta', dove faccio sempre lo stesso .... errore
relazione $xRy <=> MCD(x,y)=1$ per $x,y in ZZ$
La risposta del libro e' che la relazione e' solo simmetrica.
Io sono partito dall'assunto che se il massimo comune divisore di due numeri e' sempre uguale a $1$ allora i due numeri sono primi o coprimi tra loro.
Nel caso delle proprieta' riflessiva la relazione sarebbe espressa da $MCD(x,x)=1$, che, qualsiasi valore (come numero primo) assegnato alla $x$ verificherebbe la relazione, quindi non capisco perche' invece non e' riflessiva.
Stessa cosa per tutte le altre proprieta', dove faccio sempre lo stesso .... errore
Se nei due esercizi precedenti avevo dei problemi, in questo non so proprio come impostarlo.... In pratica devo dimostrare che partendo da una relazione di equivalenza $R$
associo una partizione $P$, e poi a questa partizione associo una relazione $R_p$ (dove $R_p$ e' definito come $aR_pb <=> EEi in I(a in Ai ^^ b in Ai)$) allora quest'ultima
coincide con la relazione $R$ di partenza.
Grazie in anticipo
associo una partizione $P$, e poi a questa partizione associo una relazione $R_p$ (dove $R_p$ e' definito come $aR_pb <=> EEi in I(a in Ai ^^ b in Ai)$) allora quest'ultima
coincide con la relazione $R$ di partenza.
Grazie in anticipo
"GundamRX91":
Se nei due esercizi precedenti avevo dei problemi, in questo non so proprio come impostarlo.... In pratica devo dimostrare che partendo da una relazione di equivalenza $R$
associo una partizione $P$, e poi a questa partizione associo una relazione $R_p$ (dove $R_p$ e' definito come $aR_pb <=> EEi in I(a in Ai ^^ b in Ai)$) allora quest'ultima
coincide con la relazione $R$ di partenza.
Grazie in anticipo
E proprio pari pari così il testo? O hai interpretato tu così?
Cmq ogni volta che cambi esercizio apri un altro post altrimenti non difficilmente qualcuno ti risponde.
Ok, apro una nuova discussione, almeno per quest'ultimo esercizio, mentre per i due precedenti lascio attiva questa discussione.
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