Relazioni di equivalenza e partizioni ?

[daniele94102]

salve in vista dell'esame di algebra avrei bisogno di lcuni chiarimenti riguardo ad un problema di rel.di equivalenza che mi è capitato :
"provare che $ R={a,b € N; a+b è pari} $ è una rel.di equivalenza. calcolare la partizione di N determinata da R"
io mi sono fermato alla dimostrazione della proprietà transitiva della relazione (anche se non sono sicuro della correttezza)
per questo vi chiedo una spiegazione di come ricavare una partizione e la dimostrazione della rel.di equivalenza
grazie

[killing_buddha]

Riflessività e simmetria sono evidenti. Se $a+b=2h, b+c=2k$, allora $a+c=a+b+b+c-2b=2h+2k-2b$.

Sei a conoscenza del fatto che esiste una biiezione tra le partizioni di un insieme e le relazioni di equivalenza definibili su quell'insieme? Più precisamente, dato un insieme $X$ l'insieme delle partizioni di $X$ è in biiezione con l'insieme delle relazioni di equivalenza definibili su $X$; da un lato, data la relazione, la partizione è data dalle classi di equivalenza: nel tuo caso, la classe di un elemento \(x\in\mathbb N\) è fatta da tutti quegli $y$ tali che $x+y=2k$ per qualche $k$ naturale, ovvero dall'unione
\[
[x]=\bigcup_{k\in\mathbb N} \{ y\mid x+y = 2k \}
\]a te il gravoso onere di disegnare questo insieme nel piano (x,y).

[daniele94102]

-per la transitiva ero arrivato anch'io a quella conclusione ovvero $a+c=2(h+k-b)$ e mi è venuto il dubbio che $ h+k-b$ non fosse una operazione consentita su N (per via della sottrazione), questo dubbio è fondato?
-per la spiegazione di come ricavare una partizione se ho capito bene alla fine è formata da tutte le classi di equivalenza che verificano la proprietà della relazione R(ovvero essere pari) giusto?
infine non ho capito perchè hai scritto così la classe di equivalenza, io l'avevo scritta così :$ [x]={y € N; 2|x+y}$ è lo stesso corretto?

p.s grazie della risposta

[killing_buddha]

"daniele94102":-per la transitiva ero arrivato anch'io a quella conclusione ovvero $a+c=2(h+k-b)$ e mi è venuto il dubbio che $ h+k-b$ non fosse una operazione consentita su N (per via della sottrazione), questo dubbio è fondato?

La sottrazione si può fare non appena il suo risultato dà un numero non negativo: $7-3$ è una operazione ammessa nei naturali. Nel tuo caso, $a+c=a+b+b+c-2b$, che ha ancora senso in \(\mathbb N\).

-per la spiegazione di come ricavare una partizione se ho capito bene alla fine è formata da tutte le classi di equivalenza che verificano la proprietà della relazione R(ovvero essere pari) giusto?
infine non ho capito perchè hai scritto così la classe di equivalenza, io l'avevo scritta così :$ [x]={y € N; 2|x+y}$ è lo stesso corretto?

Abbiamo scritto la stessa cosa: la mia è più facile da disegnare come sottoinsieme del piano.

[daniele94102]

ok grazie mille mi sei stato molto d'aiuto