Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza

[nuccia93]

Salve,
avrei un problema con le relazioni di equivalenza.
ho un esercizio: dato A:=1,2,3,4,5,6 e la relazione x \sigma y se e solo se 2x+3y è multiplo di 5.
Chiede di verificare se la relazione e di equivalenza e di scrivere esplicitamente le classi di equivalenza.

Una relazione per essere di equivalenza deve soddifare le proprietà
riflessiva : qualsiasi x appartenete a X si ha x=x
simmetrica qualsiasi m,n appartenente a X tale per cui n=m allora n=m
transitiva qualsiasi m,n,o apprtenete a X tale per cui m=n e n=o allora m=o

però come faccio ad applicarlo all'esercizio?

grazie mille per l'aiuto

[nuccia93]

grazie mille per l'aiuto

Allora il quoziente è l'insieme formato da tutte la classi di equivalenza di un insieme.
Per verificarlo devo trovare tutte le coppie di numeri che, sostituite, mi danno un multiplo di 5?

es
[1,1]=5 \(\displaystyle \Longrightarrow \) k=1
[2,2]= 10\(\displaystyle \Longrightarrow \) k=2
[3,3]=15\(\displaystyle \Longrightarrow \) k=3
[4,4]=20\(\displaystyle \Longrightarrow \) k=4
[5,5]=25\(\displaystyle \Longrightarrow \) k=5
però se metto
[1,6]=20= [4,4]
[6,1]=15=[3,3]
perchè invece non devo mettere?
[6,6]=30

[nuccia93]

ok, ho capito: fissata la x devo trovare le y in relazione con x
Ho fatto molto confusione tra coppie e classi.
Posso però dire che le coppie (1,1)(1,6) sono contenute nella classe [1] oppure questa è formata solo dagli elementi
\(\displaystyle \{ \)1,6\(\displaystyle \} \)?
Gazie mille dell'aiuto.

[nuccia93]

Grazie mille dell'aiuto e scusa se rispondo solamente adesso, ma ho avuto alcuni problemi di connessione.

[Stickelberger]

Forse e' utile osservare che $2x+3y$ e' multiplo di $5$ se e solo se
$x$ e $y$ sono congrui modulo $5$. Si tratta quindi della solita
relazione di equivalenza "essere congrui modulo $5$".