Relazioni di equivalenza

[dky]

Ciao ragazzi,
sto incontrando un pò di difficolta con le relazioni di equivalenza...
Seguendo il mio libro, riporta questa definizione:

Una relazione R definita su insieme A si dice relazione di equivalenza se verifica le seguenti proprietà:

- Riflessiva: Per ogni a appartenente ad A aRa
- Simmetrica: Per ogni a,b appartenente ad A aRb => bRa
- Transitiva: Per ogni a,b,c appartenente ad A [aRb ^ bRa] => aRc

Ma come si dimostrano queste proprietà?
Prendiamo in considerazione questo esercizio,

Data la seguente relazione:

(a,b)R(c,d)   <=>   a+d=b+c

Come faccio a dimostrare che sia riflessiva, simmetrica e transitiva?

Vi ringrazio in anticipo.

[melli13]

Per vedere se è riflessiva $(a,b)R(a.b)$. Ma $a+b=a+b$ quindi è riflessiva.
Per verificare se è simmettrica, sai che $(a,b)R(c,d)$ e cioè $a+d=b+c$. Ora devi dimostrare che è valida anche $(c,d)R(a,b)$ cioè $c+b=d+a$ e ciò sai che è vero perchè per la proprietà commuatativa dell'addizione $c+b=d+a$ equivale a $a+d=b+c$, che sai essere vera per ipotesi.
Per la transitività: sai che $a+d=b+c$, $c+f=d+e$ e quindi $a=b+c-d$, $f=d+e-c$ e allora $a+f=b+c-d+d+e-c=b+e$ cioè quello che dovevi dimostrare...hai capito?