Relazioni di equivalenza
ciao a tutti.vorrei sottoporvi un problema che mi da molto da pensare. vi scrivo il testo dell' esercizio
e poi vi dico come lo ho interpretato io:
"si calcoli il numero di relazioni di equivalenza ~ sull' insieme {1,2,3,4,5,6,7} per le quali
esiste una classe di equivalenza con 4 elementi e 1~3,6~4,4~2"
cio che ho pensato io che non so se sia giusto:
siccome 6,4,2 sono in relazione fra loro questi fanno parte della stessa classe di equivalenza.
esiste,dice il testo,una classe di equivalenza con 4 elementi.allora un altra relazione di equivalenza
è,come riportato,1e3 (quindi siamo a 2 relazioni di equivalenza).si puo creare un altra relazione
che relaziona gli elementi restanti (5,7),e quindi siamo a 3 relazioni di equivalenza.
Dato che il testo dice che una classe di equivalenza ha 4 elementi,relaziono 1,3 con 5,7 e ottengo una quarta relazione.
La mia risposta a questo esercizio e che il numero di relazioni di equivalenza sono 4;
voi avete altre idee? ho fatto un ragionamento giusto?
grazie.
e poi vi dico come lo ho interpretato io:
"si calcoli il numero di relazioni di equivalenza ~ sull' insieme {1,2,3,4,5,6,7} per le quali
esiste una classe di equivalenza con 4 elementi e 1~3,6~4,4~2"
cio che ho pensato io che non so se sia giusto:
siccome 6,4,2 sono in relazione fra loro questi fanno parte della stessa classe di equivalenza.
esiste,dice il testo,una classe di equivalenza con 4 elementi.allora un altra relazione di equivalenza
è,come riportato,1e3 (quindi siamo a 2 relazioni di equivalenza).si puo creare un altra relazione
che relaziona gli elementi restanti (5,7),e quindi siamo a 3 relazioni di equivalenza.
Dato che il testo dice che una classe di equivalenza ha 4 elementi,relaziono 1,3 con 5,7 e ottengo una quarta relazione.
La mia risposta a questo esercizio e che il numero di relazioni di equivalenza sono 4;
voi avete altre idee? ho fatto un ragionamento giusto?
grazie.
Risposte
A me viene un numero più grande di 4.
Secondo me è più facile se la pensi in questi termini: il concetto di relazione di equivalenza è equivalente al concetto di partizione:
- se hai una relazione di equivalenza $sim$ su $A$ allora la famiglia delle classi di equivalenza di $sim$ è una partizione di $A$;
- se hai una partizione $(P_j)_j$ di $A$ allora la relazione $sim$ su $A$ definita da "$x sim y$ se e solo se esiste $j$ tale che $x,y in P_j$" è una relazione di equivalenza su $A$.
(- le due costruzioni qui sopra sono una l'inversa dell'altra).
Il tuo esercizio ti chiede quindi di contare il numero di partizioni di ${1,...,7}$ tali che almeno un sottoinsieme ha 4 elementi e $1,3$ come $6,4,2$ stanno nello stesso sottoinsieme. Per esempio la partizione ${1,...,7} = {1,3} uu {6,4,2,7} uu {5}$ è una di esse.
Secondo me è più facile se la pensi in questi termini: il concetto di relazione di equivalenza è equivalente al concetto di partizione:
- se hai una relazione di equivalenza $sim$ su $A$ allora la famiglia delle classi di equivalenza di $sim$ è una partizione di $A$;
- se hai una partizione $(P_j)_j$ di $A$ allora la relazione $sim$ su $A$ definita da "$x sim y$ se e solo se esiste $j$ tale che $x,y in P_j$" è una relazione di equivalenza su $A$.
(- le due costruzioni qui sopra sono una l'inversa dell'altra).
Il tuo esercizio ti chiede quindi di contare il numero di partizioni di ${1,...,7}$ tali che almeno un sottoinsieme ha 4 elementi e $1,3$ come $6,4,2$ stanno nello stesso sottoinsieme. Per esempio la partizione ${1,...,7} = {1,3} uu {6,4,2,7} uu {5}$ è una di esse.
pero non ho capito che numero risulta a te e come. quante relazioni di equivalenza ti risultano alla fine? non sono 3?
non ho neanche capito perche ha scelto proprio quei valori per fare le classi di equivalenza. 
"si calcoli il numero di relazioni di equivalenza ~ sull' insieme {1,2,3,4,5,6,7} per le quali
esiste una classe di equivalenza con 4 elementi e 1~3,6~4,4~2"
è questo il testo dell'esercizio?
allora Martino ti ha detto come tradurlo, ti ha dato un'indicazione e ti ha fornito un esempio (un esempio, non è l'unico esempio!)
se non ci fossero quelle condizioni aggiuntive avresti dovuto partire da $((7),(4))$, cioè dal numero dei modi di scegliere quattro elementi, e questo numero doveva esser moltiplicato per il numero di partizioni di un insieme di tre elementi (i rimanenti 3).
ma con quei vincoli, come ti ha fatto notare Martino, $1$ e $3$ devono essere nello stesso sottoinsieme, ed anche $2$, $4$ e $6$.
dunque hai due possibilità:
o abbini i 4 elementi senza 2,4,6 e quindi ottieni la partizione ${2,4,6},{1,3,5,7}$,
oppure 2,4,6 con un altro elemento formano il sottoinsieme di 4 elementi (l'altro elemento può essere scelto in 2 modi, perché devi escludere $1$ e $3$ che vanno abbinati) e l'altro elemento può essere lasciato da solo oppure può essere abbinato con {1,3}, per cui $2*2=4$. le quattro partizioni siffatte sono: ${2,4,5,6},{1,3},{7}$; ${2,4,6,7},{1,3},{5}$; ${2,4,5,6},{1,3,7}$; ${2,4,6,7},{1,3,5}$.
in totale hai $5$ partizioni.
spero sia chiaro. ciao.
grazie a entrambi..ora e molto chiaro 
sono veramente felice.
grazie ancora mi avete risolto ore e ore di pensiero
ciao
sono veramente felice.grazie ancora mi avete risolto ore e ore di pensiero
ciao
"bisciasia":
grazie a entrambi..ora e molto chiaro
grazie ancora mi avete risolto ore e ore di pensiero
ciao
prego, ma questo:
mi avete risolto ore e ore di pensiero
non è molto positivo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo