Relazioni di equivalenza
salve ho questi esercizi:
"Si consideri nell’insieme dei numeri naturali $NN = \{0,1,2,3, . . .\}$ la relazione così definita:
$ a R b <=> a^2−b^2= 5·k " con " k in ZZ$.
(a) Dimostrare che $R$ è una relazione di equivalenza su $NN$.
(b) Verificare che \(2R3\), ma che \(2\not{R}1\).
(c) Descrivere tutte le classi di equivalenza di $R$".
"Si consideri la relazione $R sube RRxxRR$ data dalle coppie $(a,b) in RR xx RR$ per le quali esista un numero intero $k$ tale che $a−b= 2k pi$.
(i) Verificare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(ii) Determinare almeno tre elementi della classe $[1]_R$ e almeno tre elementi della classe $[π]_R$.
(iii) Calcolare l’intersezione $[1]_R nn [π]_R$".
Nel primo ,per trovare le classi di equivalenza, guardando le ultime cifre di ogni quadrato(che possono essere 0.1.4,5,6,9) capisco che ci sono 3 classi di equivalenza:
\([0] = (0,5,10...)\) tutti i multipli di 5;
\([1] = (1,4,6,9,11...)\) 1 e 6 come ultima cifra dei quadrati;
\([2] = (2,3,7,8,12...)\) 4 e 9 come ultima cifra.
Oltre a dimostrare all'inizio che si tratti di una equivalenza, cosa altro ci sarebbe da aggiungere?
per il secondo esercizio invece non ho chiaro che tipo di relazione sia , quindi non riesco a capire le classi
"Si consideri nell’insieme dei numeri naturali $NN = \{0,1,2,3, . . .\}$ la relazione così definita:
$ a R b <=> a^2−b^2= 5·k " con " k in ZZ$.
(a) Dimostrare che $R$ è una relazione di equivalenza su $NN$.
(b) Verificare che \(2R3\), ma che \(2\not{R}1\).
(c) Descrivere tutte le classi di equivalenza di $R$".
"Si consideri la relazione $R sube RRxxRR$ data dalle coppie $(a,b) in RR xx RR$ per le quali esista un numero intero $k$ tale che $a−b= 2k pi$.
(i) Verificare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(ii) Determinare almeno tre elementi della classe $[1]_R$ e almeno tre elementi della classe $[π]_R$.
(iii) Calcolare l’intersezione $[1]_R nn [π]_R$".
Nel primo ,per trovare le classi di equivalenza, guardando le ultime cifre di ogni quadrato(che possono essere 0.1.4,5,6,9) capisco che ci sono 3 classi di equivalenza:
\([0] = (0,5,10...)\) tutti i multipli di 5;
\([1] = (1,4,6,9,11...)\) 1 e 6 come ultima cifra dei quadrati;
\([2] = (2,3,7,8,12...)\) 4 e 9 come ultima cifra.
Oltre a dimostrare all'inizio che si tratti di una equivalenza, cosa altro ci sarebbe da aggiungere?
per il secondo esercizio invece non ho chiaro che tipo di relazione sia , quindi non riesco a capire le classi
Risposte
La seconda relazione è la congruenza modulo $2pi$, quella delle soluzioni delle equazioni goniometriche.
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