Relazioni di equivalenza
Ragazzi mi aiutate con questo esercizio:
Sia A={1,2,3}. Scrivere:
- una relazione non riflessiva su A la cui chiusura transitiva sia una relazione di equivalenza di A
- una relazione non di equivalenza su A che contenga una relazione di equivalenza
- una relazione di non equivalenza su A che non contenga una relazione di equivalenza su A
Sia A={1,2,3}. Scrivere:
- una relazione non riflessiva su A la cui chiusura transitiva sia una relazione di equivalenza di A
- una relazione non di equivalenza su A che contenga una relazione di equivalenza
- una relazione di non equivalenza su A che non contenga una relazione di equivalenza su A
Risposte
Per il primo punto io avrei pensato a R={(1,2),(2,1)} in modo che la sua chiusura transitiva diventi {(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)} che è una relazione di equivalenza se nn sbaglio..ditemi voi se è giusto
"juvedelpiero":
- una relazione non riflessiva...
La prima non va bene per quello che ho evidenziato. Il resto sarebbe stato verificato.
@Frink: non comprendo il tuo commento.
@juvedelpiero: la chiusura transitiva non include \(\displaystyle (3,3) \). Affinché la relazione non sia riflessiva è comunque sufficiente che un singolo \(\displaystyle (a,a) \) sia lasciato fuori. Affinché sia aggiunto dalla chiusura transitiva deve esserci un \(\displaystyle b \) tale che \(\displaystyle (a,b)(b,a) \) (o una catena più lunga, ma in questo caso tanto vale ignorare la cosa). Pertanto nella relazione di equivalenza finale \(\displaystyle \{a,b\} \) sarà incluso nella classe di equivalenza di \(\displaystyle a \). Un esempio del primo, quindi, non è altro che \(\displaystyle R\setminus\{(1,1)\} \) dove \(\displaystyle R \) è la relazione di equivalenza associata alla partizione \(\displaystyle \bigl\{\{1,2\}, \{3\}\bigr\} \).
Per il secondo non ho capito se vuole che si aggiungano insiemi ad una relazione di equivalenza o che sia una relazione di equivalenza su un sottoinsieme. Prova ad esplorare entrambe le possibilità.
Il terzo è relativamente semplice. Togli ad una qualsiasi relazione ogni coppia del tipo \(\displaystyle (a,a) \) e non ci saranno sottoinsiemi in cui è di equivalenza.
@juvedelpiero: la chiusura transitiva non include \(\displaystyle (3,3) \). Affinché la relazione non sia riflessiva è comunque sufficiente che un singolo \(\displaystyle (a,a) \) sia lasciato fuori. Affinché sia aggiunto dalla chiusura transitiva deve esserci un \(\displaystyle b \) tale che \(\displaystyle (a,b)(b,a) \) (o una catena più lunga, ma in questo caso tanto vale ignorare la cosa). Pertanto nella relazione di equivalenza finale \(\displaystyle \{a,b\} \) sarà incluso nella classe di equivalenza di \(\displaystyle a \). Un esempio del primo, quindi, non è altro che \(\displaystyle R\setminus\{(1,1)\} \) dove \(\displaystyle R \) è la relazione di equivalenza associata alla partizione \(\displaystyle \bigl\{\{1,2\}, \{3\}\bigr\} \).
Per il secondo non ho capito se vuole che si aggiungano insiemi ad una relazione di equivalenza o che sia una relazione di equivalenza su un sottoinsieme. Prova ad esplorare entrambe le possibilità.
Il terzo è relativamente semplice. Togli ad una qualsiasi relazione ogni coppia del tipo \(\displaystyle (a,a) \) e non ci saranno sottoinsiemi in cui è di equivalenza.
@vict85 e dire che l'ho anche evidenziato... Ho letto simmetrica! Chiedo venia 
Non so se ho capito bene quindi per il primo punto la R={(1,2),(2,1),(3,1),(1,3)} può andar bene?
"juvedelpiero":
Non so se ho capito bene quindi per il primo punto la R={(1,2),(2,1),(3,1),(1,3)} può andar bene?
Non devi chiederlo a me, devi chiederlo a te stesso. Insomma, sicuramente non è riflessiva, quindi il primo punto è ok. A questo punto devi calcolarti la chiusura transitiva.
\begin{align} 1\ R\ 2\ &R\ 1 = (1,1) \\
2\ R\ 1\ &R\ 2 = (2,2) \\
&R\ 3 = (2,3) \\
3\ R\ 1\ &R\ 2 = (3,2) \\
&R\ 3 = (3,3) \\
1\ R\ 3\ &R\ 1 = (1,1) \\
&R\ 2 = (1,2) \\
\end{align}
Perciò hai \(\displaystyle R = \bigl\{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) \bigr\} \) che è una relazione di equivalenza.
Una soluzione era anche \(\displaystyle R = \{(1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\} \).
Okk grazie millee
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