Relazioni di equivalenza
Si consideri l'insieme $ W = {2^n3^m : n,m in N0} $
Si verifichi che la relazione R definita in $ W $ ponendo:
[size=150]$ 2^n3^mR2^s3^t : iff |n - 3m| = |s - 3t|$[/size]
è d'equivalenza. Si descriva poi la generica classe d'equivalenza $[2^n3^m]r$ e in particolare: $[1]r, [2]r, [3]r, [24]r$.
Procedo in questo modo:
Per ogni $ 2^n3^m in W $ si ha $ 2^n3^mR2^n3^m $ poiché $ |n - 3m| = |n - 3m|$. Ad esempio $2R2$ perché $2^1 3^0 R 2^1 3^0$, cioè $|1 - 0| = |1 - 0| $ e quindi $1 = 1.$ La relazione è riflessiva.
La relazione è simmetrica perché per ogni $ n, m, s, t in N0$ si ha $|n - 3m| = |s - 3t|$ che segue $|s - 3t| = |n - 3m|$ e quindi $ 2^n 3^m R 2^s 3^t e 2^s 3^t R 2^n 3^m. $. La relazione è simmetrica.
Se si ha poi per ogni $ n, m ,s, t, w, v in N0 |n - 3m| = |s - 3t| e |s - 3t| = |w - 3v| $ segue $|n - 3m| = |w - 3v|$. Quindi è transitiva.
Poi come si fanno a trovare le classi d'equivalenza ?
Grazie.
Si verifichi che la relazione R definita in $ W $ ponendo:
[size=150]$ 2^n3^mR2^s3^t : iff |n - 3m| = |s - 3t|$[/size]
è d'equivalenza. Si descriva poi la generica classe d'equivalenza $[2^n3^m]r$ e in particolare: $[1]r, [2]r, [3]r, [24]r$.
Procedo in questo modo:
Per ogni $ 2^n3^m in W $ si ha $ 2^n3^mR2^n3^m $ poiché $ |n - 3m| = |n - 3m|$. Ad esempio $2R2$ perché $2^1 3^0 R 2^1 3^0$, cioè $|1 - 0| = |1 - 0| $ e quindi $1 = 1.$ La relazione è riflessiva.
La relazione è simmetrica perché per ogni $ n, m, s, t in N0$ si ha $|n - 3m| = |s - 3t|$ che segue $|s - 3t| = |n - 3m|$ e quindi $ 2^n 3^m R 2^s 3^t e 2^s 3^t R 2^n 3^m. $. La relazione è simmetrica.
Se si ha poi per ogni $ n, m ,s, t, w, v in N0 |n - 3m| = |s - 3t| e |s - 3t| = |w - 3v| $ segue $|n - 3m| = |w - 3v|$. Quindi è transitiva.
Poi come si fanno a trovare le classi d'equivalenza ?
Grazie.
Risposte
ad esempio,$24=2^3cdot 3$ e quindi la sua classe di equivalenza è formato da tutti i numeri del tipo $2^n3^m$ per i quali
$n-3m=0$
$n-3m=0$
quindi anche $ 2^6 * 3^2 $ è una classe di equivalenza di $[24]$
Dovrebbe essere cosi:
$ [1]r= {n,m in N0} = {2^0 * 3^0 = 1} = {n - 3m = 0} = [24]r $
Posso scriverlo in questo modo ?
$ [1]r= {n,m in N0} = {2^0 * 3^0 = 1} = {n - 3m = 0} = [24]r $
Posso scriverlo in questo modo ?
io direi
$[1]r=[24]r={2^n3^m : n,m in mathbbN_0,n-3m=0}$
$[1]r=[24]r={2^n3^m : n,m in mathbbN_0,n-3m=0}$
Allora la generica classe di equivalenza è
$ [2^n 3^m] = {2^n 3^m : n,m in N0, |n - 3m| } $
$ [2^n 3^m] = {2^n 3^m : n,m in N0, |n - 3m| } $
ma così mi crei la suspense su $|n-3m|$ 
$[2^n3^m]r={2^s3^t: s,t in mathbbN_0,|s-3t|=|n-3m|}$
$[2^n3^m]r={2^s3^t: s,t in mathbbN_0,|s-3t|=|n-3m|}$
Ho capito, Grazie.
Ragazzi mi potete visionare l'esercizio perché il libro non ha il risultato. Grazie
Si consideri l'insieme $V$ costituito dai numeri naturali del tipo $ 3h + 1 $ con $h in N0$
$V := {3h + 1|h in N0}$
Si dimostri che la relazione R definita da:
$3h + 1R3k+1 : hArr |h - k| in 2N0$
si determinino le classi $[1], [4], [7], [10]$
Svolgimento
La relazione è riflessiva in quanto per ogni $h in N0$ si ha $|h - h| = 0 in 2N0$. Quindi $3h + 1R3h + 1$. La relazione è simmetrica in $|h - k| = |k - h|$ e quindi $3h + 1R3k + 1$ segue $ 3k + 1 R3h + 1$. La relazione è poi transitiva poiché per ogni $ h, k, w in N0 $ si ha $|h - k| in N0 $ e $|k - w| in N0 $ segue $|h - w| in N0$
Si consideri l'insieme $V$ costituito dai numeri naturali del tipo $ 3h + 1 $ con $h in N0$
$V := {3h + 1|h in N0}$
Si dimostri che la relazione R definita da:
$3h + 1R3k+1 : hArr |h - k| in 2N0$
si determinino le classi $[1], [4], [7], [10]$
Svolgimento
La relazione è riflessiva in quanto per ogni $h in N0$ si ha $|h - h| = 0 in 2N0$. Quindi $3h + 1R3h + 1$. La relazione è simmetrica in $|h - k| = |k - h|$ e quindi $3h + 1R3k + 1$ segue $ 3k + 1 R3h + 1$. La relazione è poi transitiva poiché per ogni $ h, k, w in N0 $ si ha $|h - k| in N0 $ e $|k - w| in N0 $ segue $|h - w| in N0$
$[1]r = {3h + 1 : h in N0, h = 0 }$
$[4]r = {3h + 1 : h in N0, h = 1 }$
$[7]r = {3h + 1 : h in N0, h = 2 }$
$[10]r = {3h + 1 : h in N0, h = 3 }$
$[4]r = {3h + 1 : h in N0, h = 1 }$
$[7]r = {3h + 1 : h in N0, h = 2 }$
$[10]r = {3h + 1 : h in N0, h = 3 }$
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