Relazioni d'equivalenza help!
ciao a tutti vi pongo un quesito molto semplice che però può chiarirmi molte cose:
ho questo esercizio:
Per ognuna delle seguenti relazioni definite sull'universo dei numeri naturali, si dica se è del tipo indicato e, in caso
negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse NON soddisfano:
a) la relazione che accoppia numeri la cui somma dà 100
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:___________________
Io ho provato a risolverlo ragionando in questo modo:
se prendo una coppia di valori come per esempio 50+50 la somma è 100 questa soddisfa la proprietà riflessiva,
soddisfa la proprietà simmetrica perchè ci sono diverse coppie di valori che scambiando l'ordine della coppia danno risultato pari a 100
e infine questa non è transitiva.
Guardando però le soluzioni di questo esercizio ho una brutta sorpresa e scopro che si la soluzione è ovviamente la b ma che la relazione non soddisfa nemmeno la proprietà riflessiva, perchè?? sicuramente mi sfugge qualcosa potreste chiarirmi questo dubbio? Non basta solo una coppia di valori? Al fine di soddisfare la relazione riflessiva ci devono essere più coppie?
Grazie a tutti
A.
ho questo esercizio:
Per ognuna delle seguenti relazioni definite sull'universo dei numeri naturali, si dica se è del tipo indicato e, in caso
negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse NON soddisfano:
a) la relazione che accoppia numeri la cui somma dà 100
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:___________________
Io ho provato a risolverlo ragionando in questo modo:
se prendo una coppia di valori come per esempio 50+50 la somma è 100 questa soddisfa la proprietà riflessiva,
soddisfa la proprietà simmetrica perchè ci sono diverse coppie di valori che scambiando l'ordine della coppia danno risultato pari a 100
e infine questa non è transitiva.
Guardando però le soluzioni di questo esercizio ho una brutta sorpresa e scopro che si la soluzione è ovviamente la b ma che la relazione non soddisfa nemmeno la proprietà riflessiva, perchè?? sicuramente mi sfugge qualcosa potreste chiarirmi questo dubbio? Non basta solo una coppia di valori? Al fine di soddisfare la relazione riflessiva ci devono essere più coppie?
Grazie a tutti
A.
Risposte
"lupodimare":
Non basta solo una coppia di valori? Al fine di soddisfare la relazione riflessiva ci devono essere più coppie?
Ci devono essere tutte le coppie.
Più precisamente, una relazione è riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso
In formule: $AA x$, $ x R x$
Quindi basta che un elemento (uno solo) non sia in relazione con se stesso, e la relazione non è riflessiva, ok?
sei stato chiarissimo grazie!
Prego figurati. Aggiungo una cosa: prima hai scritto
Ebbene, anche per la proprietà simmetrica si fa un discorso analogo alla riflessiva.
Non bastano "diverse coppie", devono valere tutte le coppie, ok?
In formule, $AA x,y$ $(x,y) in R => (y,x) in R$
Cioè, affinchè valga la proprietà simmetrica, deve succedere che ogni volta che c'è una coppia $(x,y)$ che appartiene alla relazione, deve esserci anche la coppia $(y,x)$, ù
altrimenti (basta che non accada una sola volta) la relazione non è simmetrica, ok?
Comunque, confermo che in questo caso la relazione è simmetrica e il motivo è quello che hai detto tu (lo scrivo in modo un po' più formale):
Se $(x,y) in R$ allora $x+y=100$, dunque anche $y+x=100$, cioè $(y,x) in R$.
N.B: Dire $(x,y) in R$ è come dire $x R y$
"lupodimare":
soddisfa la proprietà simmetrica perchè ci sono diverse coppie di valori che scambiando l'ordine della coppia danno risultato pari a 100
Ebbene, anche per la proprietà simmetrica si fa un discorso analogo alla riflessiva.
Non bastano "diverse coppie", devono valere tutte le coppie, ok?
In formule, $AA x,y$ $(x,y) in R => (y,x) in R$
Cioè, affinchè valga la proprietà simmetrica, deve succedere che ogni volta che c'è una coppia $(x,y)$ che appartiene alla relazione, deve esserci anche la coppia $(y,x)$, ù
altrimenti (basta che non accada una sola volta) la relazione non è simmetrica, ok?
Comunque, confermo che in questo caso la relazione è simmetrica e il motivo è quello che hai detto tu (lo scrivo in modo un po' più formale):
Se $(x,y) in R$ allora $x+y=100$, dunque anche $y+x=100$, cioè $(y,x) in R$.
N.B: Dire $(x,y) in R$ è come dire $x R y$
grazie per la precisazione.
La difficoltà che sto riscontrando negli esercizi è comunque quella del concetto di relazione.
Per esempio:
qual'è la relazione che accoppia numeri dei quali il primo è la radice quadrata del secondo?
Sono tutte le coppie di valori tipo (2,4) (3,9) (4,16) (5.25) ect ect ...
per relazione secondo te cosa si intende? E' giusta la definizione sottoinsieme di un prodotto cartesiano?
Grazie.
A.
La difficoltà che sto riscontrando negli esercizi è comunque quella del concetto di relazione.
Per esempio:
qual'è la relazione che accoppia numeri dei quali il primo è la radice quadrata del secondo?
Sono tutte le coppie di valori tipo (2,4) (3,9) (4,16) (5.25) ect ect ...
per relazione secondo te cosa si intende? E' giusta la definizione sottoinsieme di un prodotto cartesiano?
Grazie.
A.
Ti scrivo la definizione formale di Relazione binaria, ovvero relazione tra due insiemi
(ovviamente ci sono anche le relazioni tra $n$ insiemi, dette relazioni n-arie):
Quindi proprio come dici tu. Qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi è una particolare relazione sui due insiemi.
Dunque la relazione tra due insiemi è un insieme formato da coppie di primo elemento appartenente ad $A$, e di secondo elemento appartenente a $B$.
Spesso accade che i due insiemi coincidano, quindi $R sube AxxA$
Cosa molto importante è sapere quale è questo insieme $A$.
Delle volte è $NN$, altre volte $ZZ$, altre $QQ$, altre $RR$, altre volte altri insiemi particolari.
Nell'esempio che hai scritto, mi sembra di capire che $A=NN$ (correggimi se sbaglio), dove intendo $NN={0,1,2,3,4,5,6,.....}$
Le coppie che hai scritto sono tutti elementi che appartengono alla relazione. Ti aggiungo anche $(0,0)$, $(1,1)$, $(6,36)$,...
Ora ti chiedo (per vedere se hai capito):
1) Questa relazione è riflessiva? Perchè?
2) E' simmetrica? Perchè?
3) E' transitiva? Perchè?
(ovviamente ci sono anche le relazioni tra $n$ insiemi, dette relazioni n-arie):
Relazione (binaria):
Siano $A, B$ insiemi. $R$ è detta relazione tra $A$ e $B$ se $R sube AxxB$
Quindi proprio come dici tu. Qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi è una particolare relazione sui due insiemi.
Dunque la relazione tra due insiemi è un insieme formato da coppie di primo elemento appartenente ad $A$, e di secondo elemento appartenente a $B$.
Spesso accade che i due insiemi coincidano, quindi $R sube AxxA$
Cosa molto importante è sapere quale è questo insieme $A$.
Delle volte è $NN$, altre volte $ZZ$, altre $QQ$, altre $RR$, altre volte altri insiemi particolari.
Nell'esempio che hai scritto, mi sembra di capire che $A=NN$ (correggimi se sbaglio), dove intendo $NN={0,1,2,3,4,5,6,.....}$
Le coppie che hai scritto sono tutti elementi che appartengono alla relazione. Ti aggiungo anche $(0,0)$, $(1,1)$, $(6,36)$,...
Ora ti chiedo (per vedere se hai capito):
1) Questa relazione è riflessiva? Perchè?
2) E' simmetrica? Perchè?
3) E' transitiva? Perchè?
Si A=N ... proviamo a rispondere alle tue domande.
Allora non è riflessiva perchè le coppie di valori appartenenti all'insieme non sono in relazione con se stesso (a,a)
Non è simmetrica perchè i valori a sono in relazione con b e non viceversa.
Non è nemmeno transitiva perchè presi una terna di valori a,b,c appartenenti all'insieme se a è in relazione con b e b è in relazione con c non si ha che a è in relazione con c ...
Spero di non aver detto baggianate.
Allora non è riflessiva perchè le coppie di valori appartenenti all'insieme non sono in relazione con se stesso (a,a)
Non è simmetrica perchè i valori a sono in relazione con b e non viceversa.
Non è nemmeno transitiva perchè presi una terna di valori a,b,c appartenenti all'insieme se a è in relazione con b e b è in relazione con c non si ha che a è in relazione con c ...
Spero di non aver detto baggianate.
Di baggianate non ne hai dette, anzi è tutto correttissimo. La relazione non è riflessiva, nè simmetrica, nè transitiva.
Per concludere, fammi degli esempi.
Cioè scrivi
"La relazione non è riflessiva perchè la coppia .... non appartiene a $R$"
"La relazione non è simmetrica perchè la coppia .... appartiene ad $R$, ma non la coppia ...."
Idem per la transitiva
Per concludere, fammi degli esempi.
Cioè scrivi
"La relazione non è riflessiva perchè la coppia .... non appartiene a $R$"
"La relazione non è simmetrica perchè la coppia .... appartiene ad $R$, ma non la coppia ...."
Idem per la transitiva
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