Relazioni d'equivalenza compatibili con l'operazione di un gruppo
Vi sottopongo un teorema:
Sia \(\displaystyle (G, \cdot) \) un gruppo.
Se \(\displaystyle \sim \) è una relazione d'equivalenza su \(\displaystyle G \) compatibile con l'operazione \(\displaystyle \cdot \), allora \(\displaystyle [1_G]_\sim \unlhd G \). Viceversa, se \(\displaystyle N \unlhd G \) e \(\displaystyle \sim_N \) è una relazione tale che \(\displaystyle a \sim_N b \Leftrightarrow a^{-1} b \in N \), allora \(\displaystyle \sim_N \) è una relazione d’equivalenza compatibile con l’operazione di \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle N=[1_G]_\sim \).
Da tale teorema deriva che ad ogni sottogruppo normale di un dato gruppo resta associata una relazione d'equivalenza compatibile con l'operazione del gruppo e ad ogni relazione d'equivalenza su un dato gruppo compatibile con l'operazione di quest'ultimo resta associato un sottogruppo normale. Tuttavia un altro dubbio mi attanaglia...
Ci penso da un po'... Scusate se non ho una soluzione personale, ma non mi viene in mente nulla (sarà la stanchezza spero).... Magari la soluzione è più semplice di quello che credevo... Comunque:
ci tenevo a sapere se da tale teorema derivi il fatto che le relazioni d'equivalenza su un gruppo compatibili con l'operazione di quest'ultimo sono tutte e sole del tipo \(\displaystyle \sim_N \) sopra definito. Se sì, come ci si arriva a tale conclusione?
Vi ringrazio in anticipo....
Sia \(\displaystyle (G, \cdot) \) un gruppo.
Se \(\displaystyle \sim \) è una relazione d'equivalenza su \(\displaystyle G \) compatibile con l'operazione \(\displaystyle \cdot \), allora \(\displaystyle [1_G]_\sim \unlhd G \). Viceversa, se \(\displaystyle N \unlhd G \) e \(\displaystyle \sim_N \) è una relazione tale che \(\displaystyle a \sim_N b \Leftrightarrow a^{-1} b \in N \), allora \(\displaystyle \sim_N \) è una relazione d’equivalenza compatibile con l’operazione di \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle N=[1_G]_\sim \).
Da tale teorema deriva che ad ogni sottogruppo normale di un dato gruppo resta associata una relazione d'equivalenza compatibile con l'operazione del gruppo e ad ogni relazione d'equivalenza su un dato gruppo compatibile con l'operazione di quest'ultimo resta associato un sottogruppo normale. Tuttavia un altro dubbio mi attanaglia...
Ci penso da un po'... Scusate se non ho una soluzione personale, ma non mi viene in mente nulla (sarà la stanchezza spero).... Magari la soluzione è più semplice di quello che credevo... Comunque:
ci tenevo a sapere se da tale teorema derivi il fatto che le relazioni d'equivalenza su un gruppo compatibili con l'operazione di quest'ultimo sono tutte e sole del tipo \(\displaystyle \sim_N \) sopra definito. Se sì, come ci si arriva a tale conclusione?
Vi ringrazio in anticipo....
Risposte
Una relazione di equivalenza compatibile con le operazioni di una struttura algebrica si definisce congruenza. 
"Zuzzerello":Da qui:
...come ci si arriva a tale conclusione?...
"Zuzzerello":è un semplice esercizio.
...se \( \displaystyle N \unlhd G \) e \( \displaystyle \sim_N \) è una relazione tale che \( \displaystyle a \sim_N b \Leftrightarrow a^{-1} b \in N \), allora \( \displaystyle \sim_N \) è una relazione d’equivalenza compatibile con l’operazione di \( \displaystyle G \) e \( \displaystyle N=[1_G]_\sim \)...
"Zuzzerello":Prego, di nulla!
...Vi ringrazio in anticipo...
"j18eos":Da qui:
Una relazione di equivalenza compatibile con le operazioni di una struttura algebrica si definisce congruenza. [quote="Zuzzerello"]...come ci si arriva a tale conclusione?...
"Zuzzerello":è un semplice esercizio.
...se \( \displaystyle N \unlhd G \) e \( \displaystyle \sim_N \) è una relazione tale che \( \displaystyle a \sim_N b \Leftrightarrow a^{-1} b \in N \), allora \( \displaystyle \sim_N \) è una relazione d’equivalenza compatibile con l’operazione di \( \displaystyle G \) e \( \displaystyle N=[1_G]_\sim \)...
"Zuzzerello":Prego, di nulla!
...Vi ringrazio in anticipo...
[/quote]Mmmh.... Capisco... La cosa che non mi tornava stava nella prima affermazione.. Data infatti una relazione di congruenza \(\displaystyle \sim \) su \(\displaystyle G \) si ha che \(\displaystyle [1_G]_\sim \) è un sottogruppo normale di \(\displaystyle G \). Si ferma qui... Non dice che data questa relazione di congruenza \(\displaystyle \sim \) su \(\displaystyle G \) si ha che \(\displaystyle \sim \) coincide con la relazione \(\displaystyle \sim_N \).... Lasciando quindi intendere che \(\displaystyle \sim \) possa comunque essere una relazione di congruenza qualsiasi su \(\displaystyle G \).Questo mi ha fatto pensare quindi che il fatto che tutte le relazioni di congruenza su un gruppo siano del tipo \(\displaystyle \sim_N \) non derivi da questo teorema...
Sicuramente mi sbaglio, ma la prima implicazione mi sembra incompleta.
Ah e comunque, "rigrazie"!!
L'idea è semplice: ho una congruenza \(\sim\) su un gruppo \(G\), allora nell'insieme quoziente \(G_{\big/\sim}\) posso considerare l'elemento \([1]_{\sim}\) e notare che esso, come sottoinsieme di \(G\) è un sottogruppo \(N\); ma cos'ha in più questo sottogruppo? L'essere normale! (Prima implicazione)
A questo punto ci si chiede, ma se considero un sottogruppo normale: posso costruire una congruenza? Sì, come indicato dall'enunziato! (Seconda implicazione)
In effetti, entrambi sono esercizio; il teorema ti torna ora?
A questo punto ci si chiede, ma se considero un sottogruppo normale: posso costruire una congruenza? Sì, come indicato dall'enunziato! (Seconda implicazione)
In effetti, entrambi sono esercizio; il teorema ti torna ora?
"j18eos":
L'idea è semplice: ho una congruenza \(\sim\) su un gruppo \(G\), allora nell'insieme quoziente \(G_{\big/\sim}\) posso considerare l'elemento \([1]_{\sim}\) e notare che esso, come sottoinsieme di \(G\) è un sottogruppo \(N\); ma cos'ha in più questo sottogruppo? L'essere normale! (Prima implicazione)
A questo punto ci si chiede, ma se considero un sottogruppo normale: posso costruire una congruenza? Sì, come indicato dall'enunziato! (Seconda implicazione)
In effetti, entrambi sono esercizio; il teorema ti torna ora?
Mmmh.. Capito il meccanismo.... La prima implicazione dimostra che data una congruenza su di un gruppo la classe di equivalenza dell'identità è un sottogruppo normale del gruppo considerato.. Partendo da qui, costruire una congruenza basandosi su tale sottogruppo normale (quello costituito dalla classe d'equivalenza dell'identità) significa ritrovarsi tra le mani una relazione del tipo \(\displaystyle \sim_N \) sopra definita... Di conseguenza Tutte le possibili congruenze sul gruppo sono di quel tipo! Perfetto!
Molto gentile! Grazie mille!
Prego, di nulla! ; )
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