Relazioni d'equivalenza, classi e compatibilità

[smartmouse]

Salve, per favore mi aiutate a capire come si svolgono esercizi del genere? Questo che segue è un esempio di traccia:

Si consideri la relazione R sull'insieme Z dei numeri interi relativi definita,
per ogni \(x, y \in Z\), da

\(xRy\) se e solo se esiste \(k \in Z\) tale che \(x = y + 9k\)

Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Determinare
i) \([0]_R = \)
ii) \([1]_R = \)
iii) \([10]_R = \)
iv) \([81]_R = \)

Stabilire, infine, se è compatibile con l'addizione e con la moltiplicazione in Z.

Io sono arrivato solo a dimostrare che R è una relazione d'equivalenza (non che l'abbia proprio capito ma guardando un altro esercizio svolto!) in questo modo:

Innanzitutto una relazione è d'equivalenza quando è riflessiva, simmetrice e transitiva. Dunque:

Riflessiva
\(xRy \Leftrightarrow x \in Z\)
\(x \in Z \Leftrightarrow \exists k = 0 : x = x + 9 \cdot 0\)

Simmetrica
\(xRy, yRx\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k \Rightarrow -y = -x + 9k \Rightarrow y = x - 9k\)
\(yRx \Leftrightarrow \exists k \in Z : y = x + 9k \Rightarrow -x = -y + 9k \Rightarrow x = y - 9k\)

Transitiva
\(xRy, yRz \Rightarrow xRz\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k\)
\(yRz \Leftrightarrow \exists h \in Z : y = z + 9h\)
\(x = y + 9k \Rightarrow x = z + 9h + 9k \Rightarrow x = z + 9(k + h)\)


Fin qui è giusto?
Se si, come si procede con l'esercizio? Come di determinano le classi di equivalenza sopra citate? Come si dimostra la compatibilità con l'addizione e con il prodotto?

Vi ringrazio in anticipo!

[gundamrx91-votailprof]

Anche per la moltiplicazione vale la proprietà commutativa

[smartmouse]

Eh lo so, ma in questo caso cosa scrivo, tutti i possibili casi o solo

$ba + 9(kb + ah +9hk)$

?

[gundamrx91-votailprof]

A questo punto basta far vedere che anche in questo caso il risultato appartiene a $ZZ_9$ e dovresti essere a posto.

[smartmouse]

Dunque, ricapitolando:

Somma:
$\forall [a], \in Z : [a]+=+[a] \in Z$

$\Rightarrow (a+9k)+(b+9h) = (a+b)+9(k+h) = (b+a)+9(h+k) \in Z$


Prodotto:
$\forall [a], \in Z : [a]\cdot=\cdot[a] \in Z$

$\Rightarrow (a+9k)\cdot(b+9h) = ab + 9(bk + ah + 9hk) = ba + 9(bk + ah + 9hk) \in Z$


E' corretto?

[gundamrx91-votailprof]

Si, dovrebbe andare bene

[smartmouse]

Anzi se proprio voglio fare gli stessi passaggi fatti con la somma, allora deve essere così come ho fatto adesso (ho editato il mio post precedente). Confermi?

Inoltre nel caso della somma che senso ha scambiare anche gli addendi che compongono il "numero" moltiplicato per 9?
Se ha un senso, allora non dovrebbe essere fatto lo stesso anche nel caso della moltiplicazione, nella quale scambiamo solo l'ordine di a*b?

[gundamrx91-votailprof]

Premetto una cosa: la teoria dei gruppi, degli anelli e dei campi la conosco appena, quindi potrei scrivere delle sciocchezze e ti prego di verificare da te successivamente.

Relativamente a quanto hai scritto bisogna verificare che la somma e il prodotto, come li conosciamo normalmente, devono comportarsi allo stesso modo anche in queste strutture algebriche, ecco perchè bisogna verificare/dimostrare che "funzionano" in entrambi i versi, cioè che commutando gli elementi messi in gioco diano lo stesso risultato.

Certo che se qualcuno più esperto di me intervenisse (correggendo i miei strafalcioni) sarebbe meglio

[smartmouse]

"GundamRX91":Certo che se qualcuno più esperto di me intervenisse (correggendo i miei strafalcioni) sarebbe meglio

Ma ci sono effettivamente questi esperti? Finora solo tu mi stai rispondendo!

[smartmouse]

E nel caso di un esercizio senza parametro?