Relazioni d'equivalenza, classi e compatibilità
Salve, per favore mi aiutate a capire come si svolgono esercizi del genere? Questo che segue è un esempio di traccia:
Io sono arrivato solo a dimostrare che R è una relazione d'equivalenza (non che l'abbia proprio capito ma guardando un altro esercizio svolto!) in questo modo:
Innanzitutto una relazione è d'equivalenza quando è riflessiva, simmetrice e transitiva. Dunque:
Riflessiva
\(xRy \Leftrightarrow x \in Z\)
\(x \in Z \Leftrightarrow \exists k = 0 : x = x + 9 \cdot 0\)
Simmetrica
\(xRy, yRx\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k \Rightarrow -y = -x + 9k \Rightarrow y = x - 9k\)
\(yRx \Leftrightarrow \exists k \in Z : y = x + 9k \Rightarrow -x = -y + 9k \Rightarrow x = y - 9k\)
Transitiva
\(xRy, yRz \Rightarrow xRz\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k\)
\(yRz \Leftrightarrow \exists h \in Z : y = z + 9h\)
\(x = y + 9k \Rightarrow x = z + 9h + 9k \Rightarrow x = z + 9(k + h)\)
Fin qui è giusto?
Se si, come si procede con l'esercizio? Come di determinano le classi di equivalenza sopra citate? Come si dimostra la compatibilità con l'addizione e con il prodotto?
Vi ringrazio in anticipo!
Si consideri la relazione R sull'insieme Z dei numeri interi relativi de finita,
per ogni \(x, y \in Z\), da
\(xRy\) se e solo se esiste \(k \in Z\) tale che \(x = y + 9k\)
Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Determinare
i) \([0]_R = \)
ii) \([1]_R = \)
iii) \([10]_R = \)
iv) \([81]_R = \)
Stabilire, infi ne, se è compatibile con l'addizione e con la moltiplicazione in Z.
Io sono arrivato solo a dimostrare che R è una relazione d'equivalenza (non che l'abbia proprio capito ma guardando un altro esercizio svolto!) in questo modo:
Innanzitutto una relazione è d'equivalenza quando è riflessiva, simmetrice e transitiva. Dunque:
Riflessiva
\(xRy \Leftrightarrow x \in Z\)
\(x \in Z \Leftrightarrow \exists k = 0 : x = x + 9 \cdot 0\)
Simmetrica
\(xRy, yRx\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k \Rightarrow -y = -x + 9k \Rightarrow y = x - 9k\)
\(yRx \Leftrightarrow \exists k \in Z : y = x + 9k \Rightarrow -x = -y + 9k \Rightarrow x = y - 9k\)
Transitiva
\(xRy, yRz \Rightarrow xRz\)
\(xRy \Leftrightarrow \exists k \in Z : x = y + 9k\)
\(yRz \Leftrightarrow \exists h \in Z : y = z + 9h\)
\(x = y + 9k \Rightarrow x = z + 9h + 9k \Rightarrow x = z + 9(k + h)\)
Fin qui è giusto?
Se si, come si procede con l'esercizio? Come di determinano le classi di equivalenza sopra citate? Come si dimostra la compatibilità con l'addizione e con il prodotto?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
In pratica, se non sbaglio, quella relazione di equivalenza "descrive" l'anello delle classi dei resti modulo $9$.
Una classe di equivalenza quindi è definita come $[a]_9:=a+9ZZ={a+9k|k in ZZ$.
A questo punto $[0]_9={0+9k|k in ZZ}={0,9,-9,18,-18,...}$
$[1]_9={1+9k|k in ZZ}={1,10,-8,19,-17,....}$
$[10]_9=[1]_9$
$[81]_9=[0]_9$
Riguardo la compatibilità con l'operazione di somma e prodotto devi verificare che $[a]* in ZZ_9, [a]_9+_9 in ZZ_9, AA[a], in ZZ_9$
Una classe di equivalenza quindi è definita come $[a]_9:=a+9ZZ={a+9k|k in ZZ$.
A questo punto $[0]_9={0+9k|k in ZZ}={0,9,-9,18,-18,...}$
$[1]_9={1+9k|k in ZZ}={1,10,-8,19,-17,....}$
$[10]_9=[1]_9$
$[81]_9=[0]_9$
Riguardo la compatibilità con l'operazione di somma e prodotto devi verificare che $[a]* in ZZ_9, [a]_9+_9 in ZZ_9, AA[a], in ZZ_9$
Sebbene io non abbia capito il primo rigo della tua risposta, ti ringrazio per aver svolto gli esempi, che invece ho capito.
Sei stato molto chiaro, grazie mille.
Per quanto riguarda invece la compatibilità, non ho capito il 9 come pedice a Z e in generale non saprei come verificare la compatibilità... puoi aiutarmi anche in questo?
Grazie ancora.
PS: la prima parte dell'esercizio da me svolta nel primo post è tutta corretta?
Sei stato molto chiaro, grazie mille.
Per quanto riguarda invece la compatibilità, non ho capito il 9 come pedice a Z e in generale non saprei come verificare la compatibilità... puoi aiutarmi anche in questo?
Grazie ancora.
PS: la prima parte dell'esercizio da me svolta nel primo post è tutta corretta?
La prima parte mi sembra corretta.
Il $9$ a pedice sta ad indicare che è una classe di equivalenza modulo $9$ e tutte le classi di equivalenza modulo $9$ definiscono un insieme, l'insieme delle classi dei resti modulo $9$ : $ZZ_9 = { [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] } $.
Relativamente alla verifica della compatibilità di somma e prodotto, conosci la struttura algebrica di anello/campo?
Il $9$ a pedice sta ad indicare che è una classe di equivalenza modulo $9$ e tutte le classi di equivalenza modulo $9$ definiscono un insieme, l'insieme delle classi dei resti modulo $9$ : $ZZ_9 = { [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] } $.
Relativamente alla verifica della compatibilità di somma e prodotto, conosci la struttura algebrica di anello/campo?
"GundamRX91":
Relativamente alla verifica della compatibilità di somma e prodotto, conosci la struttura algebrica di anello/campo?
No
Non so molto sull'argomento, comunque provo a darti qualche indicazione.
Un'anello è una struttura algebrica definita da un insieme e da due operazioni binarie "associate" all'insieme; ad esempio:
$(A,+,*)$ dove $A$ è l'insieme di supporto e $+$ e $*$ sono due operazioni binarie.
Un anello è tale quando soddisfa le seguenti proprietà:
per il gruppo $(A,+)$ è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c in A, a+(b+c)=(a+b)+c$
la proprietà commutativa: $AAa,b in A, a+b=b+a$
esistenza dell'elemento neutro: $e in A | a+e=e+a=a, AAa in A$
esistenza dell'elemento opposto: $AAa in a EE-a in A | a+(-a)(-a)+a=e$
per il gruppo $(A,*)$ è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c in A, a*(b*c)=(a*b)*c$
esistenza dell'elemento neutro: $e in A | a*e=e*a=e$
inoltre è verificata la proprietà distributiva di $*$ rispetto $+$: $AAa,b,c in A, a*(b+c)=a*b+a*c$
Se poi hai che per il gruppo $(A,*)$ è verificata la proprietà commutativa e l'esistenza dell'elemento inverso per ogni elemento non nullo dell'insieme $A$, allora hai un campo.
Per verificare se la tua relazione di equivalenza è compatibile con le operazioni di somma è prodotto, devi verificare che le due operazioni binaria "appartengano" all'insieme di definizione; esempio: sia $ZZ$ l'insieme dei numeri interi e siano $a,b in ZZ$, allora $a+b=b+a in ZZ$ cioè l'operazione di somma da come risultato un intero che appartiene sempre a $ZZ$.
Spero di non aver scritto troppe fesserie, per cui ti consiglio di prenderti comunque qualche dispensa/libro per verificare da te quanto scritto, ok.
Un'anello è una struttura algebrica definita da un insieme e da due operazioni binarie "associate" all'insieme; ad esempio:
$(A,+,*)$ dove $A$ è l'insieme di supporto e $+$ e $*$ sono due operazioni binarie.
Un anello è tale quando soddisfa le seguenti proprietà:
per il gruppo $(A,+)$ è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c in A, a+(b+c)=(a+b)+c$
la proprietà commutativa: $AAa,b in A, a+b=b+a$
esistenza dell'elemento neutro: $e in A | a+e=e+a=a, AAa in A$
esistenza dell'elemento opposto: $AAa in a EE-a in A | a+(-a)(-a)+a=e$
per il gruppo $(A,*)$ è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c in A, a*(b*c)=(a*b)*c$
esistenza dell'elemento neutro: $e in A | a*e=e*a=e$
inoltre è verificata la proprietà distributiva di $*$ rispetto $+$: $AAa,b,c in A, a*(b+c)=a*b+a*c$
Se poi hai che per il gruppo $(A,*)$ è verificata la proprietà commutativa e l'esistenza dell'elemento inverso per ogni elemento non nullo dell'insieme $A$, allora hai un campo.
Per verificare se la tua relazione di equivalenza è compatibile con le operazioni di somma è prodotto, devi verificare che le due operazioni binaria "appartengano" all'insieme di definizione; esempio: sia $ZZ$ l'insieme dei numeri interi e siano $a,b in ZZ$, allora $a+b=b+a in ZZ$ cioè l'operazione di somma da come risultato un intero che appartiene sempre a $ZZ$.
Spero di non aver scritto troppe fesserie, per cui ti consiglio di prenderti comunque qualche dispensa/libro per verificare da te quanto scritto, ok.
Beh, se hai detto il vero, per me sei stato davvero molto esauriente.
Però non capisco nel mio caso xRy con x = y+9k come dimostrare la compatibilità con la somma e con il prodotto.
Come procedo?
PS: Se ho capito bene, in poche parole, un campo è un anello con in più 2 proprietà?
Però non capisco nel mio caso xRy con x = y+9k come dimostrare la compatibilità con la somma e con il prodotto.
Come procedo?
PS: Se ho capito bene, in poche parole, un campo è un anello con in più 2 proprietà?
Allora per la somma procedi in questo modo:
$AA[a], in ZZ_9 | [a]+=+[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)+(b+9h)=(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
in quanto soddisfa ancora la relazione di equivalenza: posto $a+b=c$ e $k+h=t$, hai $c+9t$ che appartiene sempre a $ZZ_9$.
Prova ad effettuare qualche somma con le classi dei resti di $ZZ_9$ e poi prova a verificare la moltiplicazione.
Un campo è tale quando è anche un anello commutativo unitario che ammette inverso moltiplicativo per ogni elemento non nullo dell'insieme di supporto: in pratica hai che il gruppo moltiplicativo $(A,*)$ rispetta la proprietà associativa, commutativa, ha l'elemento neutro e l'elemento inverso.
$AA[a], in ZZ_9 | [a]+=+[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)+(b+9h)=(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
in quanto soddisfa ancora la relazione di equivalenza: posto $a+b=c$ e $k+h=t$, hai $c+9t$ che appartiene sempre a $ZZ_9$.
Prova ad effettuare qualche somma con le classi dei resti di $ZZ_9$ e poi prova a verificare la moltiplicazione.
Un campo è tale quando è anche un anello commutativo unitario che ammette inverso moltiplicativo per ogni elemento non nullo dell'insieme di supporto: in pratica hai che il gruppo moltiplicativo $(A,*)$ rispetta la proprietà associativa, commutativa, ha l'elemento neutro e l'elemento inverso.
"GundamRX91":
Un campo è tale quando è anche un anello commutativo unitario che ammette inverso moltiplicativo per ogni elemento non nullo dell'insieme di supporto: in pratica hai che il gruppo moltiplicativo $(A,*)$ rispetta la proprietà associativa, commutativa, ha l'elemento neutro e l'elemento inverso.
Tutto chiaro.
"GundamRX91":
Prova ad effettuare qualche somma con le classi dei resti di $ZZ_9$
Cioè? Come si fa?
"GundamRX91":
poi prova a verificare la moltiplicazione.
Non so farlo. Ho visto qualche esercizio precedente ma sono senza il parametro k... non ci arrivo... ti prego fai anche questa parte... grazie!
"smartmouse":
[quote="GundamRX91"]Un campo è tale quando è anche un anello commutativo unitario che ammette inverso moltiplicativo per ogni elemento non nullo dell'insieme di supporto: in pratica hai che il gruppo moltiplicativo $(A,*)$ rispetta la proprietà associativa, commutativa, ha l'elemento neutro e l'elemento inverso.
Tutto chiaro.
"GundamRX91":
Prova ad effettuare qualche somma con le classi dei resti di $ZZ_9$
Cioè? Come si fa?
"GundamRX91":
poi prova a verificare la moltiplicazione.
Non so farlo. Ho visto qualche esercizio precedente ma sono senza il parametro k... non ci arrivo... ti prego fai anche questa parte... grazie![/quote]
Fai un piccolo sforzo e prova ad applicare le definizioni che ti ho scritto, altrimenti è inutile....
$[3]_9+[4]_9=$ ????
Per classi dei resti intendi le classi di equivalenza ottenute per [0], [1], [10] e [81], giusto?
Quindi ad esempio una somma da provare potrebbe essere tra due elementi di una classe o tra un elemento di una classe con un elemento di un'altra classe?
Ad esempio, date le classi di equivalenza sopra ricavate:
Delle somme da provare possono essere [9] + [-8] oppure [81] + [-17] ?
Per quanto riguarda il prodotto, partendo da quanto hai detto per l'addizione:
Dovrebbe essere
$AA[a], in ZZ_9 | [a]\cdot=\cdot[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)\cdot(b+9h)=(b+9h)\cdot(a+9k) in ZZ_9$
Giusto?
Quindi ad esempio una somma da provare potrebbe essere tra due elementi di una classe o tra un elemento di una classe con un elemento di un'altra classe?
Ad esempio, date le classi di equivalenza sopra ricavate:
"GundamRX91":
$[0]_9={0+9k|k in ZZ}={0,9,-9,18,-18,...}$
$[1]_9={1+9k|k in ZZ}={1,10,-8,19,-17,...}$
$[10]_9={10+9k|k in ZZ}={10,19,1,28,-8,...}$
$[81]_9={81+9k|k in ZZ}={81,90,72,99,63,...}$
Delle somme da provare possono essere [9] + [-8] oppure [81] + [-17] ?
Per quanto riguarda il prodotto, partendo da quanto hai detto per l'addizione:
"GundamRX91":
Allora per la somma procedi in questo modo:
$AA[a], in ZZ_9 | [a]+=+[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)+(b+9h)=(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
Dovrebbe essere
$AA[a], in ZZ_9 | [a]\cdot=\cdot[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)\cdot(b+9h)=(b+9h)\cdot(a+9k) in ZZ_9$
Giusto?
"smartmouse":
Per classi dei resti intendi le classi di equivalenza ottenute per [0], [1], [10] e [81], giusto?
Si.
"smartmouse":
Quindi ad esempio una somma da provare potrebbe essere tra due elementi di una classe o tra un elemento di una classe con un elemento di un'altra classe?
Ad esempio, date le classi di equivalenza sopra ricavate:
[quote="GundamRX91"]
$[0]_9={0+9k|k in ZZ}={0,9,-9,18,-18,...}$
$[1]_9={1+9k|k in ZZ}={1,10,-8,19,-17,...}$
$[10]_9={10+9k|k in ZZ}={10,19,1,28,-8,...}$
$[81]_9={81+9k|k in ZZ}={81,90,72,99,63,...}$
Delle somme da provare possono essere [9] + [-8] oppure [81] + [-17] ?
[/quote]
No, la somma la esegui proprio con le classi dei resti/equivalenza:
$[3]_9+[4]_9=[3+4]_9=[7]_9$ e come hai visto $[7]_9 in ZZ_9$
$[3]_9+[7]_9=[3+7]_9=[10]_9=[1]_9 in ZZ_9$
Mi sai dire perchè $[10]_9=[1]_9$ ?
"smartmouse":
Per quanto riguarda il prodotto, partendo da quanto hai detto per l'addizione:
[quote="GundamRX91"]Allora per la somma procedi in questo modo:
$AA[a], in ZZ_9 | [a]+=+[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)+(b+9h)=(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
Dovrebbe essere
$AA[a], in ZZ_9 | [a]\cdot=\cdot[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)\cdot(b+9h)=(b+9h)\cdot(a+9k) in ZZ_9$
Giusto?[/quote]
$[3]_9*[4]_9=[3*4]_9=[12]_9=[3]_9$
Però ti deve essere chiara la teoria che ti porta a questo risultato, ok?
"GundamRX91":
No, la somma la esegui proprio con le classi dei resti/equivalenza:
$[3]_9+[4]_9=[3+4]_9=[7]_9$ e come hai visto $[7]_9 in ZZ_9$
$[3]_9+[7]_9=[3+7]_9=[10]_9=[1]_9 in ZZ_9$
E da dove escono 3 e 4 ad esempio? Cosa stai addizionando?
Mi sai dire perchè $[10]_9=[1]_9$ ?
Perchè gli insieme dei numeri che si ottengono sono uguali, non so perchè, ma provando a calcolarne un pò, alla fine sembra che siano costituiti dagli stessi numeri.
$[3]_9*[4]_9=[3*4]_9=[12]_9=[3]_9$
Però ti deve essere chiara la teoria che ti porta a questo risultato, ok?
A dire il vero non mi è chiara nemmeno la pratica! 3 e 4 da dove li hai presi?
Mentre la dimostrazione che ho fatto sulla compatibilità del prodotto è corretta?
Grazie per la tua pazienza!
"smartmouse":
[quote="GundamRX91"]
No, la somma la esegui proprio con le classi dei resti/equivalenza:
$[3]_9+[4]_9=[3+4]_9=[7]_9$ e come hai visto $[7]_9 in ZZ_9$
$[3]_9+[7]_9=[3+7]_9=[10]_9=[1]_9 in ZZ_9$
E da dove escono 3 e 4 ad esempio? Cosa stai addizionando?
[/quote]
Sono due elementi qualsiasi di $ZZ_9$
"smartmouse":
Mi sai dire perchè $[10]_9=[1]_9$ ?
Perchè gli insieme dei numeri che si ottengono sono uguali, non so perchè, ma provando a calcolarne un pò, alla fine sembra che siano costituiti dagli stessi numeri.
$[10]_9={10+9n | n in ZZ}={10,19,1,28,-8,37,-17,...}$
ma
$[1]_9={1+9n | n in ZZ}={1,10,-8,19,-17,28,-26,...}$
cioè in pratica hanno gli stessi elementi, quindi sono uguali.
"smartmouse":
$[3]_9*[4]_9=[3*4]_9=[12]_9=[3]_9$
Però ti deve essere chiara la teoria che ti porta a questo risultato, ok?
A dire il vero non mi è chiara nemmeno la pratica! 3 e 4 da dove li hai presi?
Mentre la dimostrazione che ho fatto sulla compatibilità del prodotto è corretta?
Si, ma non è completa... devi arrivare ad avere (rappresentare) un intero che è un multiplo di 9.
"smartmouse":
Grazie per la tua pazienza!
Di nulla, spero solo di esserti davvero d'aiuto
"smartmouse":
Dovrebbe essere
$AA[a], in ZZ_9 | [a]\cdot=\cdot[a] in ZZ_9$,
$(a+9k)\cdot(b+9h)=(b+9h)\cdot(a+9k) in ZZ_9$
Giusto?
"GundamRX91":
Si, ma non è completa... devi arrivare ad avere (rappresentare) un intero che è un multiplo di 9.
Cioè devo arrivare a:
$ab+9kb+9ah+81hk =$
$= ab + 9(kb + ah + 9hk)$
E' questo che intendi?
Praticamente si.
Guarda, se fai $[3]_9*[7]_9=[21]_9$, ovvero $(3+9h)*(7+9k)$ per $h,k in ZZ$, da cui $21+27k+63h+81hk$.
Ora se poni $h=1$ e $k=1$ ottieni $21+27+63+81=192$, ma se dividi $192$ per $9$ (ricorda che siamo in modulo $9$),
ottieni:
$192=21*9 + 3$ dove $3$ è il resto e che corrisponde alla classe dei resti $[3]_9$; infatti $[21]_9=[3]_9$.
Guarda, se fai $[3]_9*[7]_9=[21]_9$, ovvero $(3+9h)*(7+9k)$ per $h,k in ZZ$, da cui $21+27k+63h+81hk$.
Ora se poni $h=1$ e $k=1$ ottieni $21+27+63+81=192$, ma se dividi $192$ per $9$ (ricorda che siamo in modulo $9$),
ottieni:
$192=21*9 + 3$ dove $3$ è il resto e che corrisponde alla classe dei resti $[3]_9$; infatti $[21]_9=[3]_9$.
Più in generale la relazione di congruenza $-=_n$ è compatibile con le operazioni di somma e prodotto in $ZZ$; ne consegue che $(ZZ_n,+,*)$ è un anello commutativo unitario.
Siano $a-=a^{\prime} _(mod n)$ e $b-=b^{\prime} _(mod n)$. Allora $a+b-=a^{\prime}+b^{\prime} _(mod n)$ e $a*b-=a^{\prime}*b^{\prime} _(mod n)$.
Se $a-=a^{\prime} _(mod n) => n | a-a^{\prime} => EEh in ZZ | a-a^{\prime}=n*h$
e se $b-=b^{\prime} _(mod n) => n | b-b^{\prime} => EEk in ZZ | b-b^{\prime}=n*k$
Se sommiamo membro a membro otteniamo $a-a^{\prime} + b-b^{\prime}=nh + nk$ e $(a + b) - (a^{\prime} + b^{\prime})=n(h+k) => a+b -= a^{\prime} + b^{\prime} _(mod n)$.
Per la moltiplicazione abbiamo:
$a-=a^{\prime} _(mod n) => n | a-a^{\prime} => EEh in ZZ | a-a^{\prime}=n*h$
$b-=b^{\prime} _(mod n) => n | b-b^{\prime} => EEk in ZZ | b-b^{\prime}=n*k$
$a*b - a^{\prime} * b^{\prime} = a*b - a*b^{\prime} + a*b^{\prime} - a^{\prime} * b^{\prime} = a*(b - b^{\prime}) + b^{\prime} *(a - a^{\prime}) = anh + nkb^{\prime} = n*(ah + kb^{\prime} )$
da cui $a*b -= a^{\prime} * b^{\prime} _(mod n)$
Siano $a-=a^{\prime} _(mod n)$ e $b-=b^{\prime} _(mod n)$. Allora $a+b-=a^{\prime}+b^{\prime} _(mod n)$ e $a*b-=a^{\prime}*b^{\prime} _(mod n)$.
Se $a-=a^{\prime} _(mod n) => n | a-a^{\prime} => EEh in ZZ | a-a^{\prime}=n*h$
e se $b-=b^{\prime} _(mod n) => n | b-b^{\prime} => EEk in ZZ | b-b^{\prime}=n*k$
Se sommiamo membro a membro otteniamo $a-a^{\prime} + b-b^{\prime}=nh + nk$ e $(a + b) - (a^{\prime} + b^{\prime})=n(h+k) => a+b -= a^{\prime} + b^{\prime} _(mod n)$.
Per la moltiplicazione abbiamo:
$a-=a^{\prime} _(mod n) => n | a-a^{\prime} => EEh in ZZ | a-a^{\prime}=n*h$
$b-=b^{\prime} _(mod n) => n | b-b^{\prime} => EEk in ZZ | b-b^{\prime}=n*k$
$a*b - a^{\prime} * b^{\prime} = a*b - a*b^{\prime} + a*b^{\prime} - a^{\prime} * b^{\prime} = a*(b - b^{\prime}) + b^{\prime} *(a - a^{\prime}) = anh + nkb^{\prime} = n*(ah + kb^{\prime} )$
da cui $a*b -= a^{\prime} * b^{\prime} _(mod n)$
"GundamRX91":
Praticamente si.
Guarda, se fai $[3]_9*[7]_9=[21]_9$, ovvero $(3+9h)*(7+9k)$ per $h,k in ZZ$, da cui $21+27k+63h+81hk$.
Ora se poni $h=1$ e $k=1$ ottieni $21+27+63+81=192$, ma se dividi $192$ per $9$ (ricorda che siamo in modulo $9$),
ottieni:
$192=21*9 + 3$ dove $3$ è il resto e che corrisponde alla classe dei resti $[3]_9$; infatti $[21]_9=[3]_9$.
Wow ci sono riuscito allora!
Inoltre, con il tuo controesempio è diventato tutto ancora più chiaro!
Grazie mille!
Peccato per il tuo ultimo post... nel quale non ci ho capito niente! Lo posso trascurare ai fini dell'esercizio?
L'ultimo post è la dimostrazione della compatibilità della relazione di congruenza rispetto l'operazione binaria di somma e prodotto. Direi che è più che fondamentale per risolvere/capire gli esercizi 
Comunque mi fa piacere averti in qualche modo aiutato.
Comunque mi fa piacere averti in qualche modo aiutato.
Ok, grazie ancora.
Scusa se te lo scrivo qua, ma potresti aiutarmi anche con gli altri miei due topic?
Mi riferisco a questo e questo.
Scusa se te lo scrivo qua, ma potresti aiutarmi anche con gli altri miei due topic?
Mi riferisco a questo e questo.
Scusami, ancora un dubbio circa la verifica della compatibilità. Sia con l'addizione che la moltiplicazione dovevamo arrivare ad un numero multiplo di 9. Ebbene nel caso della dimostrazione della compatibilità con la somma lo mostriamo in 2 modi, cioè abbiamo un numero multiplo di 9 in due casi (scambiando l'ordine degli addendi):
$(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
Perchè invece con il prodotto abbiamo solo 1 caso?
$= ab + 9(kb + ah + 9hk)$
$(a+b)+9(k+h)=(b+a)+9(h+k) in ZZ_9$
Perchè invece con il prodotto abbiamo solo 1 caso?
$= ab + 9(kb + ah + 9hk)$
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