Relazioni binarie esercizio
Ciao a tutti! Ho provato a svolgere il seguente esercizio, vorrei una conferma sulla correttezza dello svolgimento.
Nell'insieme Z sia R la relazione binaria ponendo: "rRs <=> r-s è un numero divisibile per 10". Quali proprietà verifica R?
Allora ho provato a verificare la riflessiva così:
rRr allora r-r è un numero divisibile per 10. Vera perché r-r=0 e 0 è divisibile per 10.
Transitiva:
rRs sRt ovvero r-s è un num. div. per 10, s-t è un num. div. per 10;
Tesi: r-t è un num.div. per 10
r-t = (r-s)+(s-t) = r-s+s-t = r-t. VERA
Simmetrica:
rRs ovvero r-s è un num.div. per 10
Tesi: s-r è un num.div. per 10.
r-s = - (-r+s) allora -r+s è un num.div. per 10 e s-r è un num.div. per 10. VERA
Asimmetrica:
rRs sRr
Tesi: r=s
Per ipotesi r-s è un num. div. per 10, s-r è un num. div. per 10 ciò non implica che r=s.
Controesempio: 20-10 = 10 non è uguale a 10-20=-10.
Antiriflessiva:
Devo fare un controesempio o mi basta dire che è riflessiva?
è giusto come ho impostato lo svolgimento? Grazie a tutti in anticipo.
Nell'insieme Z sia R la relazione binaria ponendo: "rRs <=> r-s è un numero divisibile per 10". Quali proprietà verifica R?
Allora ho provato a verificare la riflessiva così:
rRr allora r-r è un numero divisibile per 10. Vera perché r-r=0 e 0 è divisibile per 10.
Transitiva:
rRs sRt ovvero r-s è un num. div. per 10, s-t è un num. div. per 10;
Tesi: r-t è un num.div. per 10
r-t = (r-s)+(s-t) = r-s+s-t = r-t. VERA
Simmetrica:
rRs ovvero r-s è un num.div. per 10
Tesi: s-r è un num.div. per 10.
r-s = - (-r+s) allora -r+s è un num.div. per 10 e s-r è un num.div. per 10. VERA
Asimmetrica:
rRs sRr
Tesi: r=s
Per ipotesi r-s è un num. div. per 10, s-r è un num. div. per 10 ciò non implica che r=s.
Controesempio: 20-10 = 10 non è uguale a 10-20=-10.
Antiriflessiva:
Devo fare un controesempio o mi basta dire che è riflessiva?
è giusto come ho impostato lo svolgimento? Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
[xdom="vict85"]Il regolamento (art. 3.6b) prevede che si usino le formule. Dopo 130 messaggi non dovrebbe più essere necessario ricordartelo.[/xdom]
Venendo al tuo esercizio penso che tu abbia in mente il metodo corretto, ma che tu debba fare più attenzione nello scriverlo.
La transitività dovresti per esempio rivederla perché scritta così non dimostra nulla.
Nella simmetrica l'avrei scritto come \(s-r = -(r-s) = -10n = 10(-n)\) per qualche \(n\in \mathbf{Z}\) mentre il tuo dice più di mostrare.
Una relazione può essere sia simmetrica che antisimmetrica?
Per l’antiriflessiva è sufficiente aver mostrato che è riflessiva.
La transitività dovresti per esempio rivederla perché scritta così non dimostra nulla.
Nella simmetrica l'avrei scritto come \(s-r = -(r-s) = -10n = 10(-n)\) per qualche \(n\in \mathbf{Z}\) mentre il tuo dice più di mostrare.
Una relazione può essere sia simmetrica che antisimmetrica?
Per l’antiriflessiva è sufficiente aver mostrato che è riflessiva.
Ciao.
Innanzitutto, mi scuso ho sempre utilizzato le formule, poiché era scritto tutto in italiano e non usando simboli particolari, credevo di poter evitare questa dicitura, ho valutato male, non accadrà più.
Ti ringrazio per avermi aiutato.
Ma non capisco come impostare la transitività, potresti darmi un suggerimento, non so qualcosa che mi possa illuminare
? Mentre per la simmetria, perdona la mia lentezza ma non comprendo cosa intendi per "mentre il tuo dice più di mostrare"?
Beh per come mi poni la domanda la risposta è no.
Però a questo punto non mi è chiara una cosa, se ho un insieme $T={1,2}$ e consideriamo l'insieme $G={(1,1),(2,2)}$ Allora la relazione $R=(TxT,G)$ è riflessiva, simmetrica e pure asimmetrica o non ho capito nulla?
Innanzitutto, mi scuso ho sempre utilizzato le formule, poiché era scritto tutto in italiano e non usando simboli particolari, credevo di poter evitare questa dicitura, ho valutato male, non accadrà più.
Ti ringrazio per avermi aiutato.
La transitività dovresti per esempio rivederla perché scritta così non dimostra nulla.
Nella simmetrica l'avrei scritto come s−r=−(r−s)=−10n=10(−n) per qualche n∈Z mentre il tuo dice più di mostrare.
Ma non capisco come impostare la transitività, potresti darmi un suggerimento, non so qualcosa che mi possa illuminare
? Mentre per la simmetria, perdona la mia lentezza ma non comprendo cosa intendi per "mentre il tuo dice più di mostrare"?Una relazione può essere sia simmetrica che antisimmetrica?
Beh per come mi poni la domanda la risposta è no.
Però a questo punto non mi è chiara una cosa, se ho un insieme $T={1,2}$ e consideriamo l'insieme $G={(1,1),(2,2)}$ Allora la relazione $R=(TxT,G)$ è riflessiva, simmetrica e pure asimmetrica o non ho capito nulla?
Su antisimmetrica hai ragione, mi sono confuso con asimmetrica. Comunque una relazione sia simmetrica che antisimmetrica non può che essere della forma da te presentata. Perché \(\bigl(aRb \wedge (aRb \Rightarrow bRa)\bigr) \Rightarrow (aRb \wedge bRa) \Rightarrow (a = b)\).
Per quanto riguarda la transitività. Siano \(\displaystyle aRb \) e \(\displaystyle bRc \). Allora esistono \(\displaystyle n,m\in\mathbf{Z} \) tale che \(\displaystyle 10n = a-b \) e \(\displaystyle 10m = b-c \), ma allora risulta che \(\displaystyle a-c = a-b+b-c = 10n+10m = 10(n+m) \). Quindi \(\displaystyle 10 \mid (a-c) \) cioé \(\displaystyle aRc \).
Per quanto riguarda la transitività. Siano \(\displaystyle aRb \) e \(\displaystyle bRc \). Allora esistono \(\displaystyle n,m\in\mathbf{Z} \) tale che \(\displaystyle 10n = a-b \) e \(\displaystyle 10m = b-c \), ma allora risulta che \(\displaystyle a-c = a-b+b-c = 10n+10m = 10(n+m) \). Quindi \(\displaystyle 10 \mid (a-c) \) cioé \(\displaystyle aRc \).
"vict85":
Su antisimmetrica hai ragione, mi sono confuso con asimmetrica. Comunque una relazione sia simmetrica che antisimmetrica non può che essere della forma da te presentata. Perché \(\bigl(aRb \wedge (aRb \Rightarrow bRa)\bigr) \Rightarrow (aRb \wedge bRa) \Rightarrow (a = b)\).
Ok. Però il mio esempio era relativo a una relazione sia simmetrica che asimmetrica e non antisimmetrica, tra l'altro non avevo fatto caso che avevi scritto antisimmetrica.
Per quanto riguarda la transitività. Siano \(\displaystyle aRb \) e \(\displaystyle bRc \). Allora esistono \(\displaystyle n,m\in\mathbf{Z} \) tale che \(\displaystyle 10n = a-b \) e \(\displaystyle 10m = b-c \), ma allora risulta che \(\displaystyle a-c = a-b+b-c = 10n+10m = 10(n+m) \). Quindi \(\displaystyle 10 \mid (a-c) \) cioé \(\displaystyle aRc \).
Ok, tu intendi $10n$ come numero divisibile per 10, giusto? Riesco a capire fino a $...=10(n+m)$ invece non capisco come esce $10|(a-c)$ ma $|$ significa divide?
Grazie
Con $10n$ intendo $10$ moltiplicato per $n$. La barra indica ‘divide’ ed è una notazione abbastanza comune, come l'uso di $(a,b)$ per indicare il MCD dei due numeri. Anche se in effetti non sono notazioni usate alle superiori.
Comunque ‘asimmetrica’ = ‘non simmetrica’ mentre antisimmetrica si riferisce alla proprietà che ha, per esempio, \(\le\).
Comunque ‘asimmetrica’ = ‘non simmetrica’ mentre antisimmetrica si riferisce alla proprietà che ha, per esempio, \(\le\).
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