Relazioni
Ciao ragazzi,
a Giugno dovrò dare l'esame di matematica discreta, e data la mia carenza in questa materia ho deciso di studiare già da ora.
Ho iniziato con il primo argomento del programma, cioè le Relazioni.
Nel libro che utilizzo non spendono due parole di più, citano solo le proprietà delle relazioni e non come dimostrarle.
Di fatto, ho difficoltà a svolgere esercizi banali come questo:
Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano \(\displaystyle \rho \space e \space \sigma \) le relazioni in A date da:
\(\displaystyle x \rho y \) se e solo se 2x + 3y è multiplo di 5 e \(\displaystyle x \sigma y \) se e solo se 2x - 3y è multiplo di 5.
a. Verificare che \(\displaystyle \rho \) è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza.
b. Provare che invece \(\displaystyle \sigma \) non è una relazione di equivalenza. E' una relazione d'ordine?
Qualcuno potrebbe darmi delle delucidazioni su come fare queste dimostrazioni?
a Giugno dovrò dare l'esame di matematica discreta, e data la mia carenza in questa materia ho deciso di studiare già da ora.
Ho iniziato con il primo argomento del programma, cioè le Relazioni.
Nel libro che utilizzo non spendono due parole di più, citano solo le proprietà delle relazioni e non come dimostrarle.
Di fatto, ho difficoltà a svolgere esercizi banali come questo:
Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano \(\displaystyle \rho \space e \space \sigma \) le relazioni in A date da:
\(\displaystyle x \rho y \) se e solo se 2x + 3y è multiplo di 5 e \(\displaystyle x \sigma y \) se e solo se 2x - 3y è multiplo di 5.
a. Verificare che \(\displaystyle \rho \) è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza.
b. Provare che invece \(\displaystyle \sigma \) non è una relazione di equivalenza. E' una relazione d'ordine?
Qualcuno potrebbe darmi delle delucidazioni su come fare queste dimostrazioni?
Risposte
Salve Squall00,
le due relazioni sono definite in $A$, ovvero sono relazioni di $A$ in $A$ ove, sicuramente, $x in A$ e $y in A$.. e poi?
Saresti in grado di dimostrare se sono di equivalenza o no, dopo questa premessa?
Nel punto "a" ti si chiede di dimostrare i tre casi, ed eventualmente di scrivere la classi di equivalenza, mentre nel punto "b" ti si chiede di trovare, se ci sono, casi in cui non è una relazione di equivalenza, e quindi di verificare, eventualmente, se è d'ordine.
Cordiali saluti
"Squall00":
Ciao ragazzi,
a Giugno dovrò dare l'esame di matematica discreta, e data la mia carenza in questa materia ho deciso di studiare già da ora.
Ho iniziato con il primo argomento del programma, cioè le Relazioni.
Nel libro che utilizzo non spendono due parole di più, citano solo le proprietà delle relazioni e non come dimostrarle.
Di fatto, ho difficoltà a svolgere esercizi banali come questo:
Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano \(\displaystyle \rho \space e \space \sigma \) le relazioni in A date da:
\(\displaystyle x \rho y \) se e solo se 2x + 3y è multiplo di 5 e \(\displaystyle x \sigma y \) se e solo se 2x - 3y è multiplo di 5.
a. Verificare che \(\displaystyle \rho \) è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza.
b. Provare che invece \(\displaystyle \sigma \) non è una relazione di equivalenza. E' una relazione d'ordine?
Qualcuno potrebbe darmi delle delucidazioni su come fare queste dimostrazioni?
le due relazioni sono definite in $A$, ovvero sono relazioni di $A$ in $A$ ove, sicuramente, $x in A$ e $y in A$.. e poi?
Saresti in grado di dimostrare se sono di equivalenza o no, dopo questa premessa?
Nel punto "a" ti si chiede di dimostrare i tre casi, ed eventualmente di scrivere la classi di equivalenza, mentre nel punto "b" ti si chiede di trovare, se ci sono, casi in cui non è una relazione di equivalenza, e quindi di verificare, eventualmente, se è d'ordine.
Cordiali saluti
Salve Garnak,
ti ringrazio di aver risposto.
Mi dispiace ma non sono in grado di procedere, anche dopo la tua premessa...
Purtroppo le mie idee non sono per nulla chiare
ti ringrazio di aver risposto.
Mi dispiace ma non sono in grado di procedere, anche dopo la tua premessa...
Purtroppo le mie idee non sono per nulla chiare
"Squall00":
Mi dispiace ma non sono in grado di procedere, anche dopo la tua premessa...
Le tre condizioni da verificare per avere una relazione di equivalenza le conosci, no?
Si queste si, ma non so come dimostrarle...
Riflessiva:
$x\rho x$: è vero che $2x+3x$ è multiplo di 5 per ogni $x\in A$?
$x\sigma x$: è vero che $2x-3x$ è multiplo di 5 per ogni $x\in A$?
Ora ti torna?
$x\rho x$: è vero che $2x+3x$ è multiplo di 5 per ogni $x\in A$?
$x\sigma x$: è vero che $2x-3x$ è multiplo di 5 per ogni $x\in A$?
Ora ti torna?
Si ora si, ma toglimi un dubbio:
per rispondere alla tua domanda, devo sostituire ogni elemento di A al posto della x oppure c'è un metodo più "rapido" ?
per rispondere alla tua domanda, devo sostituire ogni elemento di A al posto della x oppure c'è un metodo più "rapido" ?
Ad occhio potresti vedere che $2x+3x=x(2+3)=x*5$
di conseguenza se le x le scegli in un sacchettino dove ci sono solo numeri interi positivi ti dovrebbe sempre venire un multiplo di 5, no?
di conseguenza se le x le scegli in un sacchettino dove ci sono solo numeri interi positivi ti dovrebbe sempre venire un multiplo di 5, no?
Si esatto 
ho provato a fare da solo la dimostrazione della transitività ma nulla, potete darmi una mano perfavore?
ho provato a fare da solo la dimostrazione della transitività ma nulla, potete darmi una mano perfavore?
Per la transitività sai che se $xrhoy ^^ yrhoz => xrhoz$
Cioè:
$2x+3y=5k ^^ 2y+3z=5t => 2x+3z=5r$ con $k,t,r in ZZ$
Ora se fai una somma membro a membro di $2x+5y=5k ^^ 2y+3z=5t$ ottieni:
$2x+3y=5k$
$2y+3z=5t$
$2x+3y + 2y+3z=5k + 5t$, $2x+5y+3z=5k+5t$, $2x+3z=5k+5t-5y=5(k+t-y)$
Ora se chiami $k+t-y=r$ hai la tesi $2x+3z=5r$.
Cioè:
$2x+3y=5k ^^ 2y+3z=5t => 2x+3z=5r$ con $k,t,r in ZZ$
Ora se fai una somma membro a membro di $2x+5y=5k ^^ 2y+3z=5t$ ottieni:
$2x+3y=5k$
$2y+3z=5t$
$2x+3y + 2y+3z=5k + 5t$, $2x+5y+3z=5k+5t$, $2x+3z=5k+5t-5y=5(k+t-y)$
Ora se chiami $k+t-y=r$ hai la tesi $2x+3z=5r$.
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