Relazioni

[FeFe12]

Ciao a tutti,
non ridete x la dmanda che sto per farvi ma sono un po' in crisi: mi sto preparando per l'esame i mate per economia e di tutti gli esercizi che sto facendo questo non mi riesce proprio; vi sarei molto grata se mi deste una mano a risolverlo e a capirlo così se me lo trovo all'esame non ho troppi problemi.
L'esercizio è:
si verifichi che la relazione

f∼g ⟺lim┬(x→+∞)⁡〖f(x)=〗 lim┬(x→+∞)⁡〖g(x)〗

definisce un'equivalenza nell'insieme

E={h: R→R: ∃ lim┬(x→+∞)⁡〖h (x)〗 }

Si dica poi qual'è la caratteristica comune degli elementi che stanno nella classe di equivalenza delle funzioni h(x)=e^x, rispettivamente h(x)=e^(-x), fornendo anche un esempio analitico di elemento appartenente a ciscuna di queste due classi.

Grazie mille vi prego aiutatemi

[FeFe12]

ho notato che la relazione non si legge bene quindi la preciso:
f∼g ⟺lim(x→+∞) f(x) = lim(x→+∞) g(x)

e l'insieme è:
E={h: R→R: ∃ lim(x→+∞) h (x)}

[Sk_Anonymous]

La caratteristica comune agli elementi che appartengono alla stessa classe di $h(x)=e^x$ è che il $lim_(x->+oo) h(x)=+oo$, quindi ad esempio $f(x)=x^2$, oppure $f(x)=(x^3)/(x-1)$ o anche $f(x)=lnx$

La caratteristica comune agli elementi che appartengono alla stessa classe di $h(x)=e^(-x)$ è che il $lim_(x->+oo) h(x)=0$, quindi ad esempio $f(x)=1/x^2$, oppure $f(x)=(x-1)/(x^3)$ o anche $f(x)=1/lnx$

[Sk_Anonymous]

Si tratta di verificare che la relazione in questione (che indico con R) gode delle tre solite proprietà:riflessiva ,simmetrica e transitiva.Mi limito a dimostrare la terza ( per le altre provvedi tu alla facile verifica).
Siano allora u,v,w tre funzioni di E tali che si abbia uRv,vRw.Ne segue che è :
${(lim_(x rightarrow +oo)u=lim_(x rightarrow +oo)v),(lim_(x rightarrow +oo)v=lim_(x rightarrow +oo)w):}$
Da qui scaturisce facilmente che $lim_(x rightarrow +oo)u=lim_(x rightarrow +oo)w$ ovvero che è pure uRw
C.V.D.
Per la seconda parte l'esempio più semplice che mi viene in mente è quello di considerare le funzioni del tipo
$m*e^x$ ed $n*e^-x$ con m ed n costanti arbitrarie.La caratteristica evidente è che hanno le prime limite +infinito per per x->+infinito e le seconde limite zero.
Ciao

[FeFe12]

grazie mille e perdona la mia ignoranza

[gugo82]

"manlio":
Per la seconda parte l'esempio più semplice che mi viene in mente è quello di considerare le funzioni del tipo
$m*e^x$ ed $n*e^-x$ con m ed n costanti arbitrarie.La caratteristica evidente è che hanno le prime limite +infinito per per x->+infinito e le seconde limite zero.
Ciao

Manlio, un po' d'attenzione!
Se prendi $mle0$ la funzione $m*e^x$ non è nella classe d'equivalenza di $e^x$: infatti, se $m<0$, si ha $lim_(xto +oo)m*e^x=-oo!=+oo=lim_(xto +oo)e^x$ mentre se $m=0$ risulta $lim_(xto +oo)0*e^x=lim_(xto +oo)0=0!=+oo=lim_(xto +oo)e^x$.

Quindi per fare un esempio buono e semplice di funzione equivalente ad $e^x$ devi prendere $m>0$ come costante moltiplicativa.
(Altrimenti la fai figurare come costante additiva e così il problema non si pone.)