Relazione tra insiemi
La relazione tra insiemi è definita come un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $AXB$ dove $aRb iff (a,b) in R$; $R$ però no è definito, ma io l'ho definito cosi $R:={(a,b):a in A, b in B} sube AXB$ ?Giusto?
La relazione d'ordine invece l'ho interpretata come una relazione tra insiemi che soddisfa le 3+1 proprietà, anche se non capisco la proprietà che rende la relazione d'ordine totale; a me sembra equivalente all'antisimmetrica ?
La relazione d'ordine invece l'ho interpretata come una relazione tra insiemi che soddisfa le 3+1 proprietà, anche se non capisco la proprietà che rende la relazione d'ordine totale; a me sembra equivalente all'antisimmetrica ?
Risposte
Definizione di prodotto cartesiano: dati \(\displaystyle A,B \) insiemi (non vuoti) si definisce\[A \times B := \left\{ (a,b) \quad | \quad a \in A, \quad b \in B\right\}\]
Dunque il prodotto cartesiano è un insieme.
Un qualunque sottoinsieme $ccR$ di \(\displaystyle A \times B \) è detto relazione tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \).
Si usa la notazione \(\displaystyle a \mathcal{R} b\) per indicare che \(\displaystyle (a,b) \in \mathcal{R} \).
Dunque, se \(\displaystyle \mathcal{R} \) è una relazione tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \), si ha \(\displaystyle \mathcal{R} \subseteq A \times B\).
Dunque il prodotto cartesiano è un insieme.
Un qualunque sottoinsieme $ccR$ di \(\displaystyle A \times B \) è detto relazione tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \).
Si usa la notazione \(\displaystyle a \mathcal{R} b\) per indicare che \(\displaystyle (a,b) \in \mathcal{R} \).
Dunque, se \(\displaystyle \mathcal{R} \) è una relazione tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \), si ha \(\displaystyle \mathcal{R} \subseteq A \times B\).
Visto il grande interesse dimostrato da DR1 per la teoria assiomatica degli insiemi, voglio aggiungere un piccolo particolare a quanto già detto da Gi8 (che ovviamente condivido totalmente).
Questa è la definizione del prodotto cartesiano, ma come si dimostra che questo è davvero un insieme?
Insomma, così come è scritto non è chiaro quali assiomi vengono utilizzati per affermare che questo è effettivamente un insieme.
NB: l'assioma di specificazione non basta: questo assioma richiede che si abbia un insieme di partenza (la cui esistenza sia già dimostrata) da cui vengono selezionati solo alcuni elementi.
"Gi8":
Definizione di prodotto cartesiano: dati \(\displaystyle A,B \) insiemi (non vuoti) si definisce\[A \times B := \left\{ (a,b) \quad | \quad a \in A, \quad b \in B\right\}\]
Dunque il prodotto cartesiano è un insieme.
Questa è la definizione del prodotto cartesiano, ma come si dimostra che questo è davvero un insieme?
Insomma, così come è scritto non è chiaro quali assiomi vengono utilizzati per affermare che questo è effettivamente un insieme.
NB: l'assioma di specificazione non basta: questo assioma richiede che si abbia un insieme di partenza (la cui esistenza sia già dimostrata) da cui vengono selezionati solo alcuni elementi.
Ok, ma come faccio a sapere se $(a,b) in R$ ? Come si definisce $R$ ?
Dipende dalla "legge" che definisce [tex]R[/tex] stesso.
Legge?
DR1 posto che il prodotto cartesiano di due insiemi sia un'insieme, e posto che una relazione è un qualsiasi sottoinsieme di questo prodotto cartesiano, ad un certo punto però bisogna decidere quali coppie ordinate definiscono il nostro sottoinsieme-relazione, ok?
Esempio: [tex]A=\{1,2,3\},B=\{a,b,c\}[/tex], [tex]\{(1,a),(2,a),(3,a)\} = R \subset A \times B[/tex].
Ora tu vuoi sapere perchè ci sono proprio quelle coppie ordinate in [tex]R[/tex] piuttosto che altre ?
Esempio: [tex]A=\{1,2,3\},B=\{a,b,c\}[/tex], [tex]\{(1,a),(2,a),(3,a)\} = R \subset A \times B[/tex].
Ora tu vuoi sapere perchè ci sono proprio quelle coppie ordinate in [tex]R[/tex] piuttosto che altre ?
Si, è una cosa che bisogna sapere.
La "legge" a cui mi riferivo sono le funzioni; nell'esempio precedente [tex]R[/tex] rappresenta una funzione costante:
[tex]f_a : A \rightarrow B[/tex]
[tex]x \mapsto f_a(x)=a, \forall x \in A[/tex]
quindi possiamo dire che [tex]f_a = R = \{(1,a),(2,a),(3,a)\}[/tex].
Ovviamente cambiando "legge" cambieranno le coppie ordinate che definiscono [tex]R[/tex].
Spero di essere stato chiaro e non aver scritto fesserie
[tex]f_a : A \rightarrow B[/tex]
[tex]x \mapsto f_a(x)=a, \forall x \in A[/tex]
quindi possiamo dire che [tex]f_a = R = \{(1,a),(2,a),(3,a)\}[/tex].
Ovviamente cambiando "legge" cambieranno le coppie ordinate che definiscono [tex]R[/tex].
Spero di essere stato chiaro e non aver scritto fesserie
Forse intendevi dire che il sottoinsieme $R$ non è sempre lo stesso, ma varia perchè essendo un sottoinsieme è anch'esso definito da $AA y AA Y AA p EE X (y in X iff (y in Y ^^ P(y,p)))$ dove $p$ è un parametro che serve per distinguere proprietà diverse tra loro.
Ma ti riferisci all'assioma di separazione?
No l'assioma del sottoinsieme.
Posto che wikipedia.it non sia il massimo dell'affidabilità, e posto che io non sia un esperto della teoria assiomatica di ZF, però qui l'assioma di separazione viene anche indicato come l'assioma sottoinsieme...
Hai ragione, wikipedia non è totalmente affidabile e in alcuni casi per niente; comunque li è indicato come l'assioma del sottoinsieme/i , ma perchè chiamarlo assioma della separazione ? che separazione c'è in un sottoinsieme ? sarabbe più corretto, ed è questo il motivo del mio post precedente, utilizzare il termine separazione nell'assioma di regolarità.
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